Belirli Nokta Topolojisi
Belirli nokta topolojisi, bir \( X \) kümesi üzerinde seçilmiş bir nokta \( p \) için tanımlanır. Buna göre, \( X \)’in ya boş olan ya da \( p \)’yi içeren tüm alt kümelerinden oluşan aile bir topoloji oluşturur.
Bu topoloji, dolayısıyla, boş küme ile tüm küme \( X \)’i ve ayrıca \( p \)’yi kapsayan her alt kümeyi içerir.
Ayrıca literatürde “sabit nokta topolojisi” olarak da adlandırılır.
Not: Bir küme ailesinin topoloji olarak kabul edilebilmesi için temel topolojik aksiyomları sağlaması gerekir: boş küme ile tüm kümeyi içermesi, keyfi birleşim işlemleri altında ve sonlu kesişim işlemleri altında kapalı olması gerekir.
Örnek
\( X = \{a, b, c\} \) kümesini ve seçilmiş nokta olarak \( a \)’yı ele alalım. \( X \) üzerinde tanımlı belirli nokta topolojisi aşağıdaki kümeleri içerir:
- Boş küme: \( \emptyset \).
- Tüm küme: \( X = \{a, b, c\} \).
- \( a \)’yı içeren tüm alt kümeler: \( \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} \).
Dolayısıyla, \( X \) kümesi üzerinde \( a \) noktasının belirlediği topoloji şu şekilde ifade edilir:
$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Bu küme ailesi, topolojinin temel özelliklerini sağlar:
- Hem boş kümeyi hem de tüm kümeyi içerir.
- Birleşim işlemleri altında kapalıdır: \( T \)’deki her küme (boş küme hariç) \( a \)’yı içerdiğinden, bu kümelerin herhangi bir birleşimi yine \( a \)’yı içerir ve dolayısıyla sonuç \( T \)’nin bir elemanıdır.
- Sonlu kesişim işlemleri altında da kapalıdır: \( T \)’deki sonlu sayıda kümenin kesişimi (boş küme durumu dışında) yine \( a \)’yı içerir; bu nedenle sonuç yine \( T \)’de bulunur.
Dolayısıyla, bu yapı \( X \) üzerinde geçerli bir topoloji tanımlar.
