Daha ince ve daha kaba topoloji arasındaki fark

"Daha ince topoloji" ve "daha kaba topoloji" kavramları, aynı küme $ X $ üzerinde tanımlanan topolojilerin karşılaştırılmasında kullanılır. Amaç, hangi topolojinin daha fazla ya da daha az açık küme içerdiğini anlamaktır.

Daha ince topoloji
Aynı küme üzerinde tanımlanan başka bir topolojiye göre daha fazla açık küme içerir.
Daha kaba topoloji
Daha az açık küme içerir ve bu nedenle daha basit bir yapıya sahiptir.

Örnek
Daha ince ve daha kaba topolojilerde süreklilik

Örnek

$ X = \{a, b\} $ kümesi üzerinde iki farklı topoloji tanımlayalım:

Birinci topoloji $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $. Bu, yalnızca boş küme ve tüm kümenin açık olduğu trivial topolojidir.
İkinci topoloji $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} $.

$ \tau_2 $, $ \tau_1 $'e göre daha incedir. Çünkü $ \tau_2 $, $ \{a\} $ kümesini de içeren daha fazla açık küme barındırır. Buna karşılık $ \tau_1 $, daha az açık küme içerdiği için $ \tau_2 $'ye göre daha kabadır.

Daha ince ve daha kaba topolojilerde süreklilik

Bir fonksiyon daha kaba bir topolojiye göre sürekli ise, daha ince bir topolojiye göre de süreklidir. Ancak bunun tersi her zaman geçerli değildir.

Bir fonksiyonun sürekli olup olmadığını anlamak için, görüntüdeki her açık kümenin ters görüntüsünün tanım kümesinde açık olup olmadığı kontrol edilir. Daha ince topolojide açık küme sayısı daha fazla olduğu için, incelenecek ters görüntü sayısı da artar. Daha kaba topolojide ise açık küme sayısı azdır ve sürekliliği doğrulamak daha kolaydır.

Bu nedenle bir fonksiyon daha kaba topolojiye göre sürekli ise, daha ince topolojiye göre de süreklidir. Fakat bir fonksiyonun daha ince topolojiye göre sürekli olması, onun daha kaba topolojiye göre de sürekli olduğu anlamına gelmez.

Önemli not. Daha ince topolojiye göre sürekli olan bir fonksiyon, açık kümelerin daha sınırlı olduğu daha kaba topolojide süreksiz hale gelebilir.

Örnek

Yine $ X = \{a, b\} $ kümesini ve iki farklı topolojiyi ele alalım:

Daha kaba topoloji: $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $.
Daha ince topoloji: $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $.

Bu kez $ X $ kümesinden $ Y $ kümesine tanımlanan bir $ f $ fonksiyonunun sürekliliğini inceleyelim:

$$ f: X \to Y $$

Fonksiyonu şu şekilde tanımlayalım:

$$ f(a)=1 $$

$$ f(b)=1 $$

Her iki eleman da 1'e gönderildiği için fonksiyon sabittir.

$ \tau_2 $'ye göre sürekliliği kontrol edelim:

$ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $ ve bu küme $ \tau_2 $ altında açıktır.
$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ olup her topolojide açık kabul edilir.

Bu nedenle $ f $, daha ince olan $ \tau_2 $ topolojisine göre süreklidir.

$ \tau_1 $'e göre kontrol ettiğimizde de sonuç değişmez. Çünkü $ \tau_1 $'de yalnızca iki açık küme vardır: $ \varnothing $ ve $ \{a, b\} $. Her iki durumda da ters görüntüler açıktır.

Dolayısıyla $ f $, daha kaba olan $ \tau_1 $ topolojisine göre de süreklidir.

Örnek 2

Aynı $ X $ kümesi için bir başka fonksiyon tanımlayalım:

$$ g(a) = 1 $$

$$ g(b) = 2 $$

Önce $ \tau_2 $ topolojisine göre sürekliliğini inceleyelim:

$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ açıktır.
$ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ açıktır.
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ açıktır.
$ f^{-1}(\{2\}) = \{b\} $ açıktır.

Bu nedenle $ g $, daha ince olan $ \tau_2 $ topolojisine göre süreklidir.

Şimdi $ \tau_1 $ topolojisine göre inceleyelim:

$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ açıktır.
$ f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} $ açıktır.
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ fakat $ \{a\} $ kümesi $ \tau_1 $ altında açık değildir.

Bu nedenle $ g $, daha kaba olan $ \tau_1 $ topolojisine göre sürekli değildir.

Sonuç olarak $ g $, daha ince topoloji $ \tau_2 $ altında süreklidir ancak daha kaba topoloji $ \tau_1 $ altında sürekli değildir.

Bu fark, topolojiler arasındaki ilişkiyi anlamak açısından temel öneme sahiptir.