Hariç Tutulan Nokta Topolojisi
Hariç tutulan nokta topolojisi, bir X kümesi üzerinde tanımlanan ve X içindeki belirli bir p noktasının açık kümelerden özellikle çıkarılmasıyla oluşan bir topoloji türüdür. Bu yaklaşım, açık kümelerin yapısını anlamak için son derece açıklayıcı bir örnek sunar ve topolojiye farklı bir perspektif kazandırır.
Bu topolojide açık kümelerin yapısı basit ama çarpıcıdır:
- Boş küme (Ø)
- X kümesinin tamamı
- p noktasını içermeyen tüm alt kümeler
Dolayısıyla bir kümenin açık sayılabilmesi için tek şart, ya X'in tamamı ya da boş küme olması ya da p noktasını içermemesidir. Tanım sade görünse de ortaya çıkan topolojik yapı, çoğu zaman sezgilerin sınırlarını zorlayan sonuçlar doğurabilir.
Bu yapı, bir topoloji olabilmek için gerekli tüm koşulları eksiksiz sağlar. Bu nedenle matematiksel açıdan tutarlı ve geçerlidir.
Not. Tek bir noktanın dışlanmasıyla kurulan bu yapı, özellikle başlangıç düzeyindeki topoloji çalışmalarında kavramların daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur. Basit yapısına rağmen dikkat çekici özellikler taşır.
Örnek Üzerinde İnceleyelim
Şimdi üç elemanlı küçük bir küme düşünelim:
$$ X = \{a, b, c\}$$
Hariç tutulan noktanın \(p = a\) olduğunu kabul edelim. Bu durumda T kümesi aşağıdaki kümeleri içermelidir:
- Boş küme Ø
- X'in tamamı: {a, b, c}
- "a" noktasını içermeyen tüm alt kümeler: {b}, {c} ve {b,c}
Buna göre, hariç tutulan nokta topolojisi aşağıdaki gibi yazılır:
$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$
Bu yapı, topolojinin temel gerekliliklerini
