Kartezyen Çarpımda İç Teoremi
İki topolojik uzay \(X\) ve \(Y\) içinde verilen \(A\) ve \(B\) alt kümeleri için, Kartezyen çarpım \(A \times B\)'nin içi, bu kümelerin içlerinin Kartezyen çarpımına eşittir. Yani: $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Bu sonuç, çarpım topolojisinde açık kümelerin nasıl davrandığını anlamak açısından temel bir özelliktir.
Basitçe ifade etmek gerekirse, \(A \times B\)'nin içini bulmak için ayrı ayrı \(A\) ve \(B\)'nin içlerini alır, ardından bunların Kartezyen çarpımını oluştururuz. Sonuç doğrudan elde edilir.
Uygulamalı Bir Örnek
Kavramı somutlaştırmak için \(X = \mathbb{R}\) ve \(Y = \mathbb{R}\) topolojik uzaylarını ele alalım. Alt kümelerimiz ise \(A = (0, 2)\) ve \(B = (1, 3)\) olsun.
Bu kümeler, reel doğru üzerinde açık aralıklardır.
Önce bu kümelerin içlerini belirleyelim.
\(A\) zaten açık olduğundan, içi yine kendisidir:
$$ \text{Int}(A) = (0, 2) $$
Aynı durum \(B\) için de geçerlidir:
$$ \text{Int}(B) = (1, 3) $$
Şimdi içlerin Kartezyen çarpımını hesaplayalım:
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$
Bu ifade, \(x \in (0, 2)\) ve \(y \in (1, 3)\) olacak şekilde tüm \((x, y)\) noktalarından oluşur:
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = \{(x, y) \mid x \in (0, 2) \text{ ve } y \in (1, 3)\} $$
Geometrik olarak bu küme, \(\mathbb{R}^2\) düzleminde açık bir dikdörtgendir.
Şimdi doğrudan Kartezyen çarpımın içini hesaplayalım:
\(A \times B = (0, 2) \times (1, 3)\)
Bu durumda elde edilen küme yine aynı açık dikdörtgendir. Dolayısıyla:
$$ \text{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) $$
Sonuç olarak şu eşitliği doğrulamış oluruz:
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
İspat
Teoremi tam olarak anlamak için iki yönlü kapsama ilişkisini göstermemiz yeterlidir.
1] İçlerin Çarpımı, Kartezyen Çarpımın İçinde Yer Alır
İlk olarak şu ifadeyi kanıtlayalım:
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
\(x \in \text{Int}(A)\) ve \(y \in \text{Int}(B)\) olsun. Tanım gereği, \(x\) için \(U \subseteq A\) olacak bir açık küme ve \(y\) için \(V \subseteq B\) olacak bir açık küme vardır.
Bu durumda \(U \times V\) kümesi, çarpım topolojisinde açık bir kümedir ve \((x, y)\) noktasını içerir. Ayrıca \(U \times V \subseteq A \times B\) olduğu için, \((x, y)\) noktası \(A \times B\)'nin içindedir.
Böylece:
$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$
2] Kartezyen Çarpımın İçi, İçlerin Çarpımı İçinde Yer Alır
Şimdi ters yöndeki kapsama ilişkisini gösterelim:
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
\((x, y) \in \text{Int}(A \times B)\) olsun. Bu durumda, \((x, y)\)'yi içeren ve \(A \times B\) içinde kalan bir açık küme \(W\) vardır.
Çarpım topolojisinin yapısı gereği, \(W\) içinde \((x, y)\)'yi içeren bir \(U \times V\) dikdörtgeni bulunur. Burada \(U\) ve \(V\) sırasıyla \(X\) ve \(Y\) içinde açık kümelerdir.
\(U \times V \subseteq A \times B\) olduğundan, \(U \subseteq A\) ve \(V \subseteq B\) elde edilir. Bu da \(x \in \text{Int}(A)\) ve \(y \in \text{Int}(B)\) anlamına gelir.
Dolayısıyla:
$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
3] Sonuç
Her iki kapsama ilişkisini birlikte ele aldığımızda şu sonuca ulaşırız:
$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$
Böylece teorem tam olarak ispatlanmış olur.
