Topolojide Yoğun Kümeler

Bir X topolojik uzayında A altkümesi yoğun olarak adlandırılır; eğer kapanışı tüm uzaya eşitse. $$ Cl(A)=X $$

Yoğunluk kavramı, sezgisel olarak A’nın uzayın her açık kümesiyle kesişmesi anlamına gelir. Eşdeğer bir ifadeyle, X’in her noktası ya A’nın bir elemanıdır ya da A’nın bir yığılma (birikim) noktasıdır.

Bir kümenin kapanışı, kümenin kendisini ve ona keyfi derecede yakınsayan noktaları, yani yığılma noktalarını içerir.

Pratik Örnekler

Örnek 1

$ \mathbb{R} $ üzerindeki olağan (standart) topolojide rasyonel sayılar kümesi $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ yoğundur.

Bunun nedeni, herhangi iki farklı reel sayı arasında mutlaka rasyonel bir sayı bulunmasıdır. Bu özellik sayesinde her reel sayı, rasyonel sayılarla istenildiği kadar hassas biçimde yaklaşıklandırılabilir.

Sonuç olarak rasyonel sayıların kapanışı tüm uzayı verir.

$$ Cl ( \mathbb{Q} ) = \mathbb{R} $$

Dolayısıyla $ \mathbb{Q} $, $ \mathbb{R} $’de yoğundur.

Not. Aynı argüman irrasyonel sayılar kümesi $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $ için de geçerlidir. Her reel sayı irrasyonellerle keyfi derecede yakından yaklaşıklandırılabilir. Bu nedenle $$ Cl ( \mathbb{I} ) = \mathbb{R} $$ olur.

Örnek 2

$ \mathbb{R} $ üzerinde sonlu tümleyen topolojisi dikkate alındığında, $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ kümesi yoğundur.

Bu topolojide bir küme, tümleyeni sonlu ise açık kabul edilir. $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $’ın tümleyeni yalnızca \{0\} olduğu için bu küme açıktır.

Kapanışı belirlerken yığılma noktaları incelenir. 0 noktası kümeye eklendiğinde tüm $ \mathbb{R} $ elde edilir. Ayrıca bu topolojide sonsuz bir kümeyi kapsayabilen tek kapalı küme tüm uzayın kendisidir.

$$ Cl( \mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} $$

Dolayısıyla $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $, $ \mathbb{R} $’de yoğundur.

Not. Sonlu tümleyen topolojisinin dikkat çekici sonucu şudur: Tüm sonsuz kümeler yoğundur. Çünkü kapalı kümeler yalnızca sonlu kümeler ve tüm uzayın kendisidir. Sonsuz bir kümeyi içerebilen tek kapalı küme $ \mathbb{R} $’dir.

Örnek 3

$ \mathbb{R} $ üzerindeki olağan topolojide (0,1) aralığı yoğun değildir.

(0,1)’in kapanışı [0,1] aralığıdır. Çünkü 0 ve 1 noktalarının her komşuluğu (0,1) aralığıyla kesişir.

Ancak [0,1], tüm $ \mathbb{R} $’yi kapsamaz. Bu nedenle (0,1), $ \mathbb{R} $’de yoğun bir küme değildir.

Not. Buna karşılık (0,1), [0,1] altuzayında indüklenen topoloji altında yoğundur. Bu altuzaydaki kapanışı tam olarak [0,1] olur. Bu örnek, yoğunluk kavramının seçilen uzaya bağlı olduğunu açık biçimde gösterir.

Ve benzeri durumlar.