Topoloji Örneği

Bu sayfada, küçük bir küme üzerinde tanımlanabilecek tüm topolojileri adım adım inceleyeceğiz. Amacımız, topolojinin resmi tanımını somut bir örnek üzerinden anlamak ve hangi alt küme ailelerinin gerçekten bir topoloji oluşturduğunu görmektir.

İlk olarak şu kümeyi ele alıyoruz:

$$ X = \{ a,b \} $$

Bu küme üzerinde kurulabilecek tüm topolojileri bulmak için, topoloji tanımındaki koşulları sağlayan açık kümeler ailelerini belirlememiz gerekir.

Topoloji Tanımı. Bir topoloji, X kümesinin alt kümelerinden oluşan bir T ailesidir. Bu aile boş küme ∅ ve tüm küme X’i mutlaka içermelidir. Ayrıca T, üyelerinin keyfi birleşimleri ve sonlu kesişimleri altında kapalı olmalıdır.

Önce X’in tüm alt kümelerini yazalım:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Burada X, {a,b} kümesinin tamamıdır. Topoloji tanımına göre, kuracağımız her topoloji T mutlaka ∅ ve X kümelerini içermek zorundadır.

Şimdi bu alt kümelerden yola çıkarak, topoloji kurallarını gerçekten sağlayan tüm olası aileleri listeleyebiliriz:

1. Trivial (minimal) topoloji. Yalnızca boş küme ve tüm kümeyi içerir: $$ T_1=\{ ∅, \{a,b \} \} $$
2. Boş küme ve tüm kümeye ek olarak {a} alt kümesini açık kabul eden topoloji: $$ T_2=\{ ∅, \{ a \} , \{a,b \} \} $$
3. Bu kez {b} alt kümesini açık kabul eden topoloji: $$ T_3=\{ ∅, \{ b \} , \{a,b \} \} $$
4. Ayrık topoloji (maksimal topoloji). X’in tüm alt kümelerini açık kabul eder: $$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{a,b \} \} $$

Sonuç olarak, X={a,b} kümesi üzerinde tam dört farklı topoloji tanımlanabilir. Bu ailelerden trivial topoloji en sade olanıdır. Ayrık topoloji ise en geniş olanıdır, çünkü X’in tüm alt kümeleri bu durumda açık kabul edilir.

Örnek 2

Şimdi, üç elemanlı başka bir kümeye geçelim:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Aşağıdaki alt küme ailesinin X üzerinde bir topoloji oluşturup oluşturmadığını test edelim:

$$ T_3=\{ ∅, \{ a \} , \{ b \} , \{b,c \}, \{a,b,c \} \} $$

İlk kontrolümüz, bu ailenin boş küme ∅ ve tüm küme X’i içerip içermediğidir. Bu koşul sağlanıyor ve ilk adım olumlu sonuçlanıyor.

İkinci adımda, ailenin birleşimler altında kapalı olup olmadığına bakarız. Bu noktada bir sorun ortaya çıkar. Çünkü

$$ \{ a \} \cup \{ b \} = \{a , b\} \ \notin T $$

Bu sonuç, verilen ailenin bir topoloji olmadığını göstermeye zaten yeter. Dolayısıyla artık kesişim koşulunu kontrol etmeye gerek yoktur.

Bu yaklaşım, daha büyük kümeler üzerinde topoloji kurulurken de aynı mantıkla kullanılabilir. İlk şartları sağlayan her aile, daha sonra birleşim ve kesişim testlerinden geçirilerek değerlendirilebilir.