실수집합 ℝ에서 집합의 내부를 구하는 방법

위상수학에서 집합의 내부는 매우 기본적이면서도 중요한 개념이다. 표준 위상을 갖는 실수집합 ℝ에서 이 개념이 어떻게 정의되고, 실제로 어떻게 확인할 수 있는지 간단한 R 스크립트를 통해 살펴보자.

먼저 두 개의 열린 집합 A와 B를 정의한다.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

이들은 각각 실수집합 ℝ 위에 정의된 열린 구간이다.

집합 A는 실수 구간 (1, 3)을 나타낸다.

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

같은 방식으로, 집합 B는 실수 구간 (0, 4)를 의미한다.

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

이제 이 집합들의 내부를 계산하기 위한 간단한 함수를 정의한다.

위상수학에서 집합의 내부란, 해당 집합에 포함되는 모든 열린 집합들의 합집합으로 정의된다. 실수 구간의 경우, 이는 직관적으로 구간의 양 끝점을 제외한 부분에 해당한다.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

위에서 정의한 함수를 이용해 집합 A와 집합 B의 내부를 각각 계산해 보자.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

계산 결과를 출력하면 다음과 같다.

집합 A (1, 3)의 내부는 A에 포함된 모든 열린 집합들의 합집합이며, 이는 다시 int(A) = (1, 3)으로 표현된다.

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

집합 B (0, 4)의 내부 역시 같은 정의에 따라 int(B) = (0, 4)가 된다.

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

이제 집합의 내부에 대한 중요한 성질 하나를 확인해 보자.

집합의 내부에 관한 기본 성질에 따르면, 집합 A가 집합 B의 부분집합일 경우 A의 내부 역시 B의 내부의 부분집합이 된다.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

이 성질은 R을 이용해 계산적으로도 직접 확인할 수 있다.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

출력 결과에서 보듯이, 집합 \( A \)의 내부는 실제로 집합 \( B \)의 내부에 포함되어 있음을 확인할 수 있다.

이와 같이 간단한 예제와 계산을 통해 집합의 내부 개념과 그 기본적인 성질을 보다 직관적으로 이해할 수 있다.