집합 내부 연산의 포함 보존성

집합 $ A $가 집합 $ B $의 부분집합이면, $ A $의 내부는 항상 $ B $의 내부에 포함된다. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

이 성질은 위상수학에서 매우 기본적이면서도 중요한 사실이다. 핵심은 간단하다. 집합 $ A $ 안에 들어 있는 열린 집합은 모두 자연스럽게 $ B $ 안에도 포함된다는 점이다.

이로부터 내부를 취하는 연산은 집합 사이의 포함 관계를 그대로 유지한다는 결론이 나온다.

구체적인 예

표준 위상을 갖는 실수 공간 $ \mathbb{R} $에서 두 집합 $ A $와 $ B $를 살펴보자.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

이 경우 집합 $ A $는 명백히 집합 $ B $의 부분집합이다.

$$ A \subseteq B $$

표준 위상을 갖는 $ \mathbb{R} $에서 집합의 내부란, 그 집합에 포함된 모든 열린 집합을 모아 만든 가장 큰 열린 집합이다.

A의 내부
집합 $ A = [1, 3] $에는 열린 구간 $ (1, 3) $이 포함된다. 따라서 \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
B의 내부
집합 $ B = [0, 4] $에는 열린 구간 $ (0, 4) $이 포함된다. 따라서 \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

이 결과를 보면, $ \text{Int}(A) = (1, 3) $이 $ \text{Int}(B) = (0, 4) $에 완전히 포함되어 있음을 한눈에 확인할 수 있다.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

이 예는 표준 위상을 갖는 $ \mathbb{R} $에서 $ A \subseteq B $이면 항상 $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $가 성립함을 직관적으로 잘 보여준다.

이제 일반적인 경우를 살펴보자. 위상공간 $ X $에서 두 집합 $ A $와 $ B $가 $ A \subseteq B $를 만족한다고 가정한다.

보이고자 하는 것은, $ A $의 내부를 $ \text{Int}(A) $로 나타낼 때 다음 포함 관계가 성립한다는 점이다.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

정의에 따라 $ \text{Int}(A) $는 $ A $에 포함된 모든 열린 집합들의 합집합이다. 즉, $ A $ 안에 들어갈 수 있는 가장 큰 열린 집합이다.

그런데 $ A \subseteq B $이므로, $ A $에 포함된 어떤 열린 집합도 자동으로 $ B $의 부분집합이 된다.

따라서 $ A $에 포함된 모든 열린 집합은 동시에 $ B $에도 포함되며, 이들의 합집합인 $ \text{Int}(A) $ 역시 $ B $에 포함된 열린 집합이 된다.

한편, $ \text{Int}(B) $는 정의상 $ B $에 포함된 가장 큰 열린 집합이다.

이제 결론은 자연스럽게 따라온다. $ \text{Int}(A) $가 $ B $에 포함된 열린 집합인 이상, 반드시 $ \text{Int}(B) $에 포함될 수밖에 없다.

결과적으로, $ A \subseteq B $이면 항상 $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $가 성립한다.

이 성질은 내부 연산이 집합의 포함 구조를 변형하지 않고 유지함을 보여주는 기본적인 예이다.

이하 생략.