実数直線 ℝ 上の集合の内部の求め方

ここでは、標準位相を備えた実数直線 ℝ 上で定義された集合の「内部」という概念を、具体例とともに分かりやすく説明する。理論的な定義に加えて、R 言語による簡単な計算例を通して理解を深めていく。

まず、2つの開集合 A と B を考える。

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

これらはともに、実数直線 ℝ 上の開区間を表している。

集合 A は、開区間 (1,3) に対応する。

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

同様に、集合 B は開区間 (0,4) を表す。

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

次に、集合の 内部 を数値的に近似するための簡単な 関数 を定義する。

位相幾何学において、集合の内部とは、その集合に含まれるすべての開集合の和集合として定義される。実数直線上の開区間の場合、直感的には「端点を含まない内部全体」を意味する。

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

この関数を用いて、集合 A と集合 B の内部をそれぞれ計算する。

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

計算結果を確認してみよう。

集合 A (1,3) の 内部 は、理論的には int(A) = (1,3) であり、数値的にもそれに対応する結果が得られる。

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

同様に、集合 B (0,4) の 内部 も int(B) = (0,4) となる。

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

ここで、集合の内部に関する基本的な性質 を確認しておこう。集合 A が集合 B の部分集合である場合、その内部についても次の包含関係が成り立つ。

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

この性質は、R 言語を用いた簡単な計算によっても確かめることができる。

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

出力結果から、集合 \( A \) の内部が確かに集合 \( B \) の内部に含まれていることが確認できる。

このように、抽象的に見えがちな位相的概念も、具体例と簡単な計算を組み合わせることで、直感的かつ明確に理解することが可能となる。