集合の内部の包含性

集合 $ A $ が集合 $ B $ に含まれているとき、$ A $ の内部は必ず $ B $ の内部に含まれる。 $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

この性質は直感的にも理解しやすい。集合 $ A $ の中に含まれる開集合は、すべて集合 $ B $ の中にも含まれているため、内部を取ったときの包含関係がそのまま保たれるのである。

つまり、内部を取るという操作は、集合どうしの大小関係を崩すことなく、その構造を保つ。

具体例

標準位相を備えた実数直線 $ \mathbb{R} $ 上で、次の二つの集合を考える。

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

このとき、集合 $ A $ が集合 $ B $ に含まれていることは明らかである。

$$ A \subseteq B $$

標準位相における集合の内部とは、その集合に含まれるすべての開集合を集めたものである。

A の内部
集合 $ A = [1, 3] $ には開区間 $ (1, 3) $ が含まれている。したがって: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
B の内部
集合 $ B = [0, 4] $ には開区間 $ (0, 4) $ が含まれている。したがって: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

この結果から、$ \text{Int}(A) = (1, 3) $ が $ \text{Int}(B) = (0, 4) $ に含まれていることが分かる。

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

このように、具体的な例を通しても、$ A \subseteq B $ ならば $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $ が成り立つことが確認できる。

一般に、位相空間 $ X $ において集合 $ A $ と $ B $ が $ A \subseteq B $ を満たしているとする。

集合 $ A $ の内部 $ \text{Int}(A) $ は、$ A $ に含まれるすべての開集合の和集合として定義される。言い換えれば、$ A $ に含まれる最大の開集合である。

$ A \subseteq B $ である以上、$ A $ に含まれるどの開集合も、同時に $ B $ に含まれている。

そのため、$ \text{Int}(A) $ を構成する開集合はすべて $ B $ の中にあり、結果として $ \text{Int}(A) $ 自体も $ B $ に含まれる開集合となる。

一方、$ \text{Int}(B) $ は $ B $ に含まれる開集合の中で最大のものである。

したがって、$ B $ に含まれる開集合である $ \text{Int}(A) $ は、必ず $ \text{Int}(B) $ に含まれる。

以上から、$ A \subseteq B $ ならば $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $ が成り立つことが分かる。

この事実は、位相空間における基本的で重要な性質の一つであり、以後の議論でも繰り返し用いられる。