إغلاق المجموعة يساوي اتحادها مع مجموعة نقاط التراكم
إغلاق المجموعة \( A \) في فضاء طوبولوجي \( X \)، ويرمز له بـ \(\text{Cl}(A)\)، هو اتحاد \( A \) مع مجموعة نقاط التراكم الخاصة بها \( A' \). $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
تُعد هذه النتيجة من المفاهيم الأساسية في الطوبولوجيا، لأنها توضّح بدقة ما الذي نضيفه إلى مجموعة ما عندما نتحدث عن “إغلاقها”.
بصورة حدسية، يحتوي إغلاق \( A \) على جميع نقاط \( A \) نفسها، بالإضافة إلى النقاط التي يمكن الاقتراب منها بعناصر من \( A \) اقترابًا غير محدود.
ومن المهم الانتباه إلى أن نقاط التراكم قد لا تكون عناصر في المجموعة الأصلية.
تسمح لنا هذه المبرهنة باستخلاص معيار بسيط: تكون المجموعة \( A \) مغلقة إذا وفقط إذا احتوت جميع نقاط التراكم الخاصة بها. $$ A \text{ مغلقة } \ \Leftrightarrow \ A = \text{Cl}(A) $$ أي إن المجموعة المغلقة هي تلك التي تتطابق مع إغلاقها.
مثال تطبيقي
لنعتبر المجموعة \( A = (0,1) \) في مجموعة الأعداد الحقيقية \(\mathbb{R}\) مع الطوبولوجيا القياسية.
$$ A = (0,1) $$
تتضمن هذه المجموعة جميع الأعداد بين 0 و1 دون الطرفين.
ما نقاط التراكم؟
- كل نقطة داخل المجال (0,1) هي نقطة تراكم.
- النقطة 0 نقطة تراكم، لأن عناصر \( A \) تقترب منها.
- النقطة 1 نقطة تراكم للسبب نفسه.
إذن:
$$ A' = [0,1] $$
ومن ثم فإن الإغلاق هو:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
بما أن \( \text{Cl}(A) \neq A \)، فإن \( A \) ليست مغلقة.
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
مثال 2
لنأخذ الآن المجموعة \( B = [0,1] \).
$$ B = [0,1] $$
هذه مجموعة تحتوي بالفعل جميع نقاط التراكم الخاصة بها.
لذلك:
$$ B' = [0,1] $$
$$ \text{Cl}(B) = [0,1] $$
هنا نجد أن:
$$ B = \text{Cl}(B) $$
وعليه فإن \( B \) مجموعة مغلقة.
البرهان
نبرهن أن: \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \).
نعتمد على التعريفين التاليين:
- إغلاق \( A \): تقاطع جميع المجموعات المغلقة التي تحتوي \( A \).
- نقطة التراكم: نقطة يكون كل جوار لها متقاطعًا مع \( A \) في نقطة مختلفة عنها.
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
نعلم دائمًا أن:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
ولكل \( x \in A' \)، لا يمكن إيجاد جوار يفصل \( x \) عن \( A \)، ومن ثم \( x \in \text{Cl}(A) \).
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
خذ نقطة \( x \in \text{Cl}(A) \).
إذا لم تكن في \( A \)، فلا بد أن كل جوار لها يتقاطع مع \( A \)، أي إنها نقطة تراكم.
\[ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \]
3] النتيجة
من الاحتواءين نحصل على: <
