两个集合的内部的并总是包含在这两个集合的并的内部中
在拓扑学中，一个基本而重要的结论是：对于任意两个集合 $ A $ 和 $ B $，它们各自内部的并，总是包含在这两个集合的并的内部中： \[ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cup B) \] 需要注意的是，这一关系通常只是包含关系，并不保证两者相等。
这一性质直观地说明了内部运算与并集运算之间的关系。先分别取集合的内部，再将结果合并，得到的点一定不会超出并集的内部范围。
不过，在一般情况下，下面的等式并不成立：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cup B) $$
更常见的情形是，仅有严格的包含关系：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \ne \text{Int}(A \cup B) $$
理解这一点，有助于在学习拓扑时把握集合运算与拓扑结构之间的内在联系。
例 1：实数轴上的直观情形
在带有通常拓扑的实数轴 \(\mathbb{R}\) 上，考虑两个开区间 \( A \) 和 \( B \)：
$$ A = (0, 2) $$
$$ B = (1, 3) $$
由于开区间本身就是开集，其内部等于集合自身，因此：
$$ \text{Int}(A) = (0, 2) $$
$$ \text{Int}(B) = (1, 3) $$
于是，两个集合的内部的并为：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) = (0, 2) \cup (1, 3) $$
这两个区间存在重叠，其并可以直接写成：
$$ (0, 2) \cup (1, 3) = (0, 3) $$
相应地，集合 \( A \) 与 \( B \) 的并为：
$$ A \cup B = (0, 3) $$
因此，这两个集合的并的内部是：
$$ \text{Int}(A \cup B) = \text{Int}((0, 3)) = (0, 3) $$
由此可以清楚地看到：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cup B) $$
并且在这个特定例子中，包含关系恰好变成了等式：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cup B) $$
需要强调的是，这种相等只发生在某些特殊情况下，不能作为一般结论。
证明思路
下面简要说明为什么上述包含关系在一般情形下总是成立。
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cup B) $$
回顾内部的定义。设 \( X \) 是拓扑空间中的一个集合，其内部 \(\text{Int}(X)\) 由所有内点组成。点 \( x \) 是 \( X \) 的内点，当且仅当存在一个包含 \( x \) 的邻域，并且该邻域完全包含在 \( X \) 中。
现在取任意一点 \( x \in \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \)。这意味着 \( x \) 至少属于其中一个集合的内部。
- 如果 \( x \in \text{Int}(A) \)，则存在一个邻域 \( U_x \)，满足 \( U_x \subseteq A \)；
- 如果 \( x \in \text{Int}(B) \)，则存在一个邻域 \( V_x \)，满足 \( V_x \subseteq B \)。
无论属于哪一种情况，点 \( x \) 都有一个邻域完全包含在 \( A \cup B \) 中。
因此，\( x \) 必然是 \( A \cup B \) 的内点，即：
$$ x \in \text{Int}(A \cup B) $$
这说明 \(\text{Int}(A) \cup \text{Int}(B)\) 中的任意元素都属于 \(\text{Int}(A \cup B)\)，从而得到：
$$ \text{Int}(A) \cup \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cup B) $$
这一论证清晰地揭示了该性质成立的根本原因。
