集合闭包的单调性

集合闭包的单调性指的是这样一个基本事实：设 \( A \) 和 \( B \) 是任意两个集合（不要求它们本身是闭集），只要 \( A \subseteq B \)，就必然有 \( A \) 的闭包包含于 \( B \) 的闭包之中：\[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

这是拓扑学中一个非常自然、也非常重要的性质，理解起来并不困难，但在很多论证中却起着关键作用。

可以用一个直观的比喻来把握这一点：先把一个小盒子封好，再把它放进一个更大的盒子并将外层盒子封闭，那么小盒子依然处在大盒子的封闭范围之内。

一个直观的例子

我们从最熟悉的拓扑空间入手：带有标准拓扑的实数直线 \(\mathbb{R}\)。

在这种拓扑下，开集就是各种开区间。

考虑 \(\mathbb{R}\) 中的两个集合：

\[ A = (0, 1) \]

\[ B = [0, 2] \]

显然，\( A \) 是 \( B \) 的子集，因为 \( A \) 中的每一个数都包含在 \( B \) 中。

\[ A \subseteq B \]

集合 \(A\) 的闭包

集合 \( A \) 是开区间 \( (0, 1) \)。

按照定义，闭包等于集合本身加上它的所有极限点。

对区间 \( (0, 1) \) 来说，只有端点 \( 0 \) 和 \( 1 \) 是极限点，因为任意包含这两个点的邻域中，都能找到属于 \( A \) 的元素。

因此，\( A \) 的闭包为：

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

集合 \(B\) 的闭包

集合 \( B \) 是闭区间 \([0, 2]\)。

由于它本身已经是闭集，并且包含了所有极限点，所以它的闭包就是它自身：

\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]

结论

由 \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \) 和 \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \) 可以直接看出：

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

这只是因为区间 \([0, 1]\) 本身就是区间 \([0, 2]\) 的子集，从而清楚地展示了闭包的单调性。

一般证明思路

设 \( A \subseteq B \)，我们希望说明 \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \)。

首先，由集合包含关系可知，\( A \) 中的每一个点同时也是 \( B \) 中的点。

根据闭包的定义，点 \( x \) 属于 \( \text{Cl}(A) \)，当且仅当 \( x \) 的任意邻域中都至少包含一个属于 \( A \) 的点。

由于 \( A \subseteq B \)，这些邻域中出现的点自然也属于 \( B \)，因此同样满足 \( x \in \text{Cl}(B) \) 的条件。

从另一个等价的角度看，集合的闭包可以定义为所有包含该集合的闭集的交集。既然任何包含 \( B \) 的闭集一定也包含 \( A \)，那么包含 \( B \) 的闭集的交集，必然包含 \( A \) 的全部极限点。

由此可以得出结论：只要 \( A \subseteq B \)，就必然有 \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \)。

这正是集合闭包单调性产生的根本原因。