闭集的刻画

在拓扑空间中，一个集合 $ A $ 是闭集，当且仅当它的闭包与集合本身完全一致。也就是说：$$ A = \text{Cl}(A) $$

一个直观的例子

考虑带有通常拓扑的实数空间 $ \mathbb{R} $，以及集合 $ A = [0, 1] $。

在拓扑学中，一个集合之所以是闭集，是因为它包含了自己的所有极限点。对于区间 $ [0, 1] $ 来说，区间内部的每一个点都是极限点，同时两个端点 $ 0 $ 和 $ 1 $ 也是极限点。

由于集合 $ A $ 本身已经包含了这些所有点，因此可以直接判断 $ A $ 是一个闭集。

我们再从闭包的角度来检查这一点。

在通常拓扑下，集合 $ A $ 的闭包并不会引入新的点，它仍然是区间 $ [0, 1] $，也就是：

$$ A = \text{Cl}(A) $$

这个例子清楚地表明，集合 $ [0, 1] $ 是闭集，因为它与自己的闭包完全重合。

更一般地，这个例子也帮助我们理解了一个重要结论：一个集合是闭集，当且仅当它等于自己的闭包。

下面我们从定义出发，说明这一结论为什么成立。

闭包：集合 $ A $ 的闭包记作 $ \text{Cl}(A) $，它由集合 $ A $ 以及所有满足"任意邻域都与 $ A $ 有交点"的点组成。形式化地写为： \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid x 的任意邻域都包含 A 中的点 \} \]
闭集：如果一个集合包含了它的全部极限点，那么这个集合就称为闭集。

接下来分两个方向来理解这一等价关系。

假设 $ A $ 是闭集。根据定义，它已经包含了所有极限点。

而闭包的作用，正是把集合与它的极限点合在一起。既然这些极限点本来就已经在 $ A $ 中，那么闭包并不会增加任何新元素。

因此有：

$$ \text{Cl}(A) = A $$

反过来，如果集合 $ A $ 与它的闭包相同，就说明闭包中包含的那些极限点已经全部属于 $ A $。

这正是闭集的定义，因此可以直接得出结论：集合 $ A $ 是闭集。

通过这两个方向的说明，我们可以清楚地看到，"等于自身闭包"正是闭集最核心、也最实用的刻画方式之一。