内部与闭包的对偶关系

在拓扑学中，内部算子与闭包算子之间存在一种非常重要且常用的对偶关系。简而言之，对于拓扑空间 \( X \) 中的任意子集 \( A \)，集合 \( A \) 的补集的内部，正好等于集合 \( A \) 的闭包的补集。用公式表示为：$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

一个直观的例子

为了更好地理解这一关系，我们从最熟悉的情形入手，考虑带有通常拓扑的实数直线 \(\mathbb{R}\)。在这种拓扑下，开集就是所有的开区间。

设集合 \( A = [0, 1] \)，这是一个标准的闭区间。

$$ A = [0, 1] $$

集合 \( A \) 在实数直线中的补集为：

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

补集的内部 Int(\(\mathbb{R} - A\))，指的是其中所有内点构成的集合。

由于区间 \((- \infty, 0) \cup (1, \infty)\) 本身已经是开集，因此它的内部并不会发生变化：

$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

再来看集合 \( A \) 的闭包。闭包 Cl(\(A\)) 定义为包含 \( A \) 的最小闭集。

由于 \( A \) 本身就是闭区间，它的闭包仍然是它自身：

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

因此，闭包在实数直线中的补集为：

$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$

将结果并列比较，可以清楚地看到：

• \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
• \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)

两者完全一致。这一简单的例子直观地说明了内部与闭包之间的对偶关系。

一般情形下的证明

下面给出该结论在一般拓扑空间中的证明思路。

设 \( X \) 是一个拓扑空间，\( A \subseteq X \)。我们要证明：

$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

证明只依赖于内部和闭包的基本定义。

第一步：证明 \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)

取任意一点 \( x \in \text{Int}(X - A) \)。根据内部的定义，存在一个包含 \( x \) 的开邻域 \( U \)，使得：

$$ U \subseteq X - A $$

这意味着 \( U \cap A = \emptyset \)。因此，\( x \) 至少有一个邻域与 \( A \) 不相交，说明 \( x \) 不可能是 \( A \) 的聚点。

于是 \( x \notin \text{Cl}(A) \)，从而 \( x \in X - \text{Cl}(A) \)。

第二步：证明 \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)

反过来，取任意一点 \( x \in X - \text{Cl}(A) \)，即 \( x \notin \text{Cl}(A) \)。

根据闭包的定义，必然存在一个包含 \( x \) 的邻域 \( U \)，使得：

$$ U \cap A = \emptyset $$

因此 \( U \subseteq X - A \)，这说明 \( x \) 是补集 \( X - A \) 的一个内点，也就是说：

$$ x \in \text{Int}(X - A) $$

结论

由于上述两个包含关系同时成立，我们最终得到：

$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$

这一结论揭示了内部算子与闭包算子之间深刻而简洁的对偶结构，是理解拓扑基本概念时非常有用的一条性质。