闭包的包含性质

设 $ X $ 是一个拓扑空间，$ C $ 是 $ X $ 中的闭集，并且 $ A \subseteq C $。那么，集合 $ A $ 的闭包，记作 $ \operatorname{Cl}(A) $，一定包含在 $ C $ 之中。 $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ is closed } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

直观地说，$ \operatorname{Cl}(A) $ 是所有包含 $ A $ 的闭集中"最小"的那个。而 $ C $ 本身已经是闭集，又包含了 $ A $，因此它自然也包含 $ \operatorname{Cl}(A) $。

这意味着，$ A $ 的闭包不可能超出闭集 $ C $ 的范围。

一个直观的例子
证明

一个直观的例子

下面通过一个简单的例子来理解这一性质。考虑拓扑空间 $ X = \mathbb{R} $，即实数集，并赋予其通常拓扑。

在通常拓扑下，开集就是开区间。

例如，取集合 $ C = [0, 2] $，它是 $ \mathbb{R} $ 中的一个闭集。

$$ C = [0,2] $$

再取其中的一个子集，比如开区间 $ A = (0, 1) $。显然，$ A \subseteq C $。

$$ A = (0,1) $$

接下来，我们来看集合 $ A $ 的闭包。

按照定义，$ \operatorname{Cl}(A) $ 是 $\mathbb{R}$ 中包含 $ A $ 的最小闭集。

因此，区间 $ (0, 1) $ 的闭包是 $ [0, 1] $。这是因为 $ [0, 1] $ 不仅包含 $ (0, 1) $ 中的所有点，还包含它的全部聚点，也就是 0 和 1，并且不存在比它更小、同时又满足这些条件的闭集。

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

由于 $ A \subseteq C $，可以写成

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

根据闭包的包含性质，$ \operatorname{Cl}(A) $ 必须包含在 $ C $ 之中：

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

事实上，$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $，而很容易验证

$$ [0, 1] \subseteq [0, 2] $$

也就是说，$(0, 1)$ 虽然是一个开区间，但它的闭包 $ [0, 1] $ 仍然完全落在闭集 $ [0, 2] $ 内。

这个例子清楚地表明，在拓扑空间 $ X $ 中，只要 $ A $ 是某个闭集 $ C $ 的子集，那么 $ A $ 的闭包一定不会超出 $ C $。

证明

下面给出这一性质的严格证明。

根据定义，集合 $ C $ 在拓扑空间 $ X $ 中是闭集，因此它的补集 $ X \setminus C $ 是开集。

由题设条件可知 $ A \subseteq C $。

集合 $ A $ 的闭包 $ \operatorname{Cl}(A) $，定义为 $ X $ 中所有包含 $ A $ 的闭集的交集。

由于 $ C $ 本身就是一个闭集，并且包含 $ A $，因此 $ C $ 是这些闭集中的一个。

而 $ \operatorname{Cl}(A) $ 作为所有这些闭集的交集，必然包含在其中的任意一个闭集之内，尤其包含在 $ C $ 之中。

由此得到结论：

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

简单概括就是：因为 $ C $ 是一个包含 $ A $ 的闭集，而 $ \operatorname{Cl}(A) $ 又是包含 $ A $ 的最小闭集，所以 $ A $ 的闭包必然被包含在 $ C $ 内。