拓扑学中集合内部的包含性

在拓扑学中，一个基本而重要的性质是：如果集合 $ A $ 包含于集合 $ B $，那么集合 $ A $ 的内部也必然包含于集合 $ B $ 的内部。$$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

直观地说，凡是完全位于 $ A $ 内部的"开放部分"，同样也一定处在 $ B $ 之中。

因此，对集合取内部这一操作，并不会破坏原有的包含关系，而是与之保持一致。

一个直观的例子

为了更好地理解这一性质，我们在赋予通常拓扑的实数集 $ \mathbb{R} $ 中来看一个具体例子。

设

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

显然，区间 $ A $ 完全包含在区间 $ B $ 中，即

$$ A \subseteq B $$

在通常拓扑下，一个集合的内部可以理解为：所有包含在该集合中的开集的并集。

可以直接看出，开区间 $ (1, 3) $ 完全包含在 $ (0, 4) $ 中，也就是说：

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

这个例子清楚地展示了：在实数集的通常拓扑下，只要 $ A \subseteq B $，内部之间同样满足包含关系。

下面给出这一性质的一般性证明思路。

设 $ X $ 是一个拓扑空间，$ A $ 和 $ B $ 是 $ X $ 中的两个子集，且满足 $ A \subseteq B $。我们的目标是证明：

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

根据定义，$ \text{Int}(A) $ 是所有包含在 $ A $ 中的开集的并集，也可以理解为"包含在 $ A $ 中的最大开集"。

由于 $ A \subseteq B $，任何包含于 $ A $ 的开集，自然也包含于 $ B $。

因此，构成 $ \text{Int}(A) $ 的所有开集，同时也是 $ B $ 的子集。它们的并集 $ \text{Int}(A) $ 仍然是一个包含于 $ B $ 的开集。

另一方面，$ \text{Int}(B) $ 按定义是包含在 $ B $ 中的最大开集。

既然 $ \text{Int}(A) $ 是一个包含于 $ B $ 的开集，那么它必然被包含在 $ \text{Int}(B) $ 之中。

由此得到结论：若 $ A \subseteq B $，则一定有 $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $。

这一结论表明，取内部这一基本拓扑运算能够自然地保留集合之间的包含结构。