开集与集合内部的包含关系

在拓扑空间 $ X $ 中，设 $ U $ 是一个开集，并且满足 $ U \subseteq A $。那么，集合 $ U $ 一定包含在 $ A $ 的内部中，即 $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

集合 $ A $ 的内部，记作 $\text{Int}(A)$，可以理解为“完全位于 $ A $ 内部的所有开集所组成的最大集合”。换句话说，它是包含于 $ A $ 的最大开集。

因此，只要一个集合 $ U $ 是开集并且位于 $ A $ 之内，它就自然属于 $ A $ 的内部 $\text{Int}(A)$。这一点正是本节要说明的核心思想。

从定义出发，内部可以写成如下形式：

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{\, O \subseteq A \mid O \text{ 是 } X \text{ 中的开集} \,\} $$

在这个并集中，集合 $ U $ 显然包含在内，因为根据假设，$ U $ 本身就是一个包含于 $ A $ 的开集。

一个直观的例子

为了更直观地理解这一结论，我们来看一个熟悉的例子。考虑实数集 $ \mathbb{R} $ 及其标准拓扑。在这种拓扑下，开集由开区间及其任意并集构成。

设：

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

区间 $ U = (1, 2) $ 是一个开区间，因此在 $ \mathbb{R} $ 的标准拓扑中是开集。

同时可以看到，$ (1, 2) \subseteq [0, 3] $，也就是说，$ U $ 中的每一个点都属于 $ A $，因此有 $ U \subseteq A $。

集合 $ A = [0, 3] $ 的内部记为 $\text{Int}(A)$。根据定义，它是所有包含在 $ A $ 中的开集所形成的最大集合。

在这个具体情形下，$ A $ 的内部是区间 $(0, 3)$，因为这是完全包含在 $[0, 3]$ 内的最大开区间。

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

由于 $ U = (1, 2) $，而 $\text{Int}(A) = (0, 3)$，可以清楚地看出：

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

这个例子直观地说明，只要 $ U $ 是 $ \mathbb{R} $ 中的开集，并且满足 $ U \subseteq A $，那么 $ U $ 一定包含在 $ A $ 的内部中。

现在回到一般情形。设 $ X $ 是一个拓扑空间，$ U $ 是 $ X $ 中的开集，$ A \subseteq X $，并且 $ U \subseteq A $。

根据内部的定义，$\text{Int}(A)$ 是所有包含在 $ A $ 中的开集的并集。

由于 $ U $ 本身就是一个包含于 $ A $ 的开集，它自然属于构成 $\text{Int}(A)$ 的那些集合之一。于是可以直接得到：

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

这一结论表明，在拓扑学中，内部的概念恰好刻画了“完全位于集合内部的开集”的最大范围，而任何满足条件的开集都会自动落在这个范围之内。