开集的等价刻画

在拓扑空间 \( X \) 中，集合 \( A \) 是开集，当且仅当它与自身的内部相同，即 $$ A = \text{Int}(A) $$。

直观地说，如果集合 \( A \) 中的每一个点，都能找到一个完全包含在 \( A \) 内的开邻域，那么这个集合就是开集。

因此，条件 \( A = \text{Int}(A) \) 为“什么是开集”提供了一个非常实用的等价刻画。它表明，集合 \( A \) 已经包含了其内部所能包含的全部开结构。

集合的 内部 Int(A)，指的是包含在 \( A \) 内的最大开集。换句话说，它等于所有包含于 \( A \) 的开集的并集。

实例说明

考虑带有标准拓扑的实数空间 \( \mathbb{R} \)。在这种拓扑下，每一个开区间都是开集。

下面通过条件 \( A = \text{Int}(A) \)，来直观地判断一些常见集合是否为开集。

例 1

设集合 \( A = (0, 1) \)，这是一个开区间。

$$ A = (0, 1) $$

可以直接看出，\( A \) 的内部仍然是区间 (0,1)。

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

由于集合 \( A \) 与其内部完全一致，因此 \( A \) 是开集。

例 2

设集合 \( B = [0,1] \)，这是一个闭区间。

$$ B = [0, 1] $$

它的内部是去除两个端点后的区间。

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

此时，集合 \( B \) 与其内部并不相同，因此 \( B \) 不是开集。

说明：通过这两个简单的例子可以看到，利用集合内部的概念，可以快速判断一个集合是否为开集。

证明思路

下面给出该等价刻画的证明思路，帮助读者从逻辑上理解这一结论。

1] 若 \( A \) 是开集，则 \( \text{Int}(A) = A \)

设 \( A \) 是一个开集。

根据内部的定义，\(\text{Int}(A)\) 包含了所有属于 \( A \)，并且具有完全包含于 \( A \) 内的开邻域的点。

由于 \( A \) 本身是开集，对任意 \( x \in A \)，都存在一个开邻域 \( U \subseteq A \)。

这说明 \( A \) 中的每一个点都属于 \(\text{Int}(A)\)，因此有

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

另一方面，\(\text{Int}(A)\) 是由包含在 \( A \) 内的开集构成的并集，自然满足

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

由此可得

$$ A = \text{Int}(A) $$

2] 若 \( A = \text{Int}(A) \)，则 \( A \) 是开集

反过来，假设 \( A = \text{Int}(A) \)。

任取一点 \( x \in A \)。由于 \( x \in \text{Int}(A) \)，根据内部的定义，点 \( x \) 必然存在一个开邻域 \( U \subseteq A \)。

这说明集合 \( A \) 中的每一个点，都具有完全包含在 \( A \) 内的开邻域。

因此，\( A \) 是开集。

3] 总结

综上所述，在拓扑空间 \( X \) 中，一个集合是否为开集，可以通过它是否等于自身的内部来判断。

也就是说，集合 \( A \) 是开集，当且仅当

$$ A = \text{Int}(A) $$

这一等价刻画在理论分析和具体计算中都非常有用，是拓扑学中的一个基本结论。