补集的闭包与内部的补集

在拓扑空间中，集合 A 的补集的闭包，恰好等于集合 A 的内部的补集，即：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) = X - \mathrm{Int}(A) $$

这一关系揭示了闭包与内部这两个基本概念之间深刻而自然的对偶性，是点集拓扑中非常重要的一条基本性质。

一个直观的例子

考虑拓扑空间 $ X = \mathbb{R} $，并赋予它通常的拓扑结构。在这种拓扑下，开集由开区间及其任意并构成。

设集合 $ A \subseteq X $，取：

$ A = [1, 2] $。

为了更直观地理解上述等式，我们分两步来验证：首先计算 A 的补集的闭包，然后计算 A 的内部的补集。

集合 A 在实数集中的补集为：

$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$

为了求它的闭包，需要把所有极限点也包含进来。

在这个例子中，集合 $ (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $ 由两个开区间组成。任何包含点 1 的邻域都会与区间 $ (-\infty, 1) $ 相交，而任何包含点 2 的邻域都会与区间 $ (2, \infty) $ 相交。因此，点 1 和 2 都是该集合的极限点。

由此可得，A 的补集的闭包为：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) = \mathrm{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

集合 A = [1, 2] 的内部是其所包含的最大开集，即：

$$ \mathrm{Int}(A) = (1, 2) $$

因此，A 的内部的补集为：

$$ X - \mathrm{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

由上面的计算可以清楚地看到，A 的补集的闭包与 A 的内部的补集完全一致：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

$$ X - \mathrm{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

因此我们得到结论：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) = X - \mathrm{Int}(A) $$

设 $ A \subseteq X $ 是拓扑空间 X 中的一个集合。

集合 $ X - A $ 的闭包，是由所有属于 $ X - A $ 的点及其极限点构成的集合：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) $$

而 A 的内部的补集，则由所有不属于 A 的内部的点构成：

$$ X - \mathrm{Int}(A) $$

下面分别证明这两个集合互相包含。

$ \mathrm{Cl}(X - A) \subseteq X - \mathrm{Int}(A) $
若点 x 属于 $ \mathrm{Cl}(X - A) $，则任意包含 x 的邻域都与集合 $ X - A $ 有非空交集。这说明 x 不可能是 A 的内部点。否则，若 x 是 A 的内部点，则存在一个完全包含于 A 的邻域，与前述结论矛盾。因此，x 不属于 $ \mathrm{Int}(A) $，从而属于 $ X - \mathrm{Int}(A) $。
$ X - \mathrm{Int}(A) \subseteq \mathrm{Cl}(X - A) $
若点 x 属于 $ X - \mathrm{Int}(A) $，则 x 不是 A 的内部点。这意味着任意包含 x 的邻域都不可能完全包含在 A 中，从而必然包含至少一个属于 $ X - A $ 的点。因此，x 属于 $ X - A $ 的闭包。

综上所述，可以得到：

$$ \mathrm{Cl}(X - A) = X - \mathrm{Int}(A) $$

这一结论清晰地体现了在拓扑学中，闭包运算与内部运算在取补意义下所表现出的对偶结构。

以此类推。