Topolojik Gömme (Embedding)

Topolojide topolojik gömme (embedding), iki topolojik uzay \( X \) ve \( Y \) arasında tanımlanan sürekli ve birebir bir \( f: X \rightarrow Y \) fonksiyonudur. Ayrıca bu fonksiyon, \( X \) ile görüntü kümesi \( f(X) \) arasında bir homeomorfizma oluşturmalıdır. Burada \( f(X) \), \( Y \)'den aldığı altuzay topolojisi ile donatılmıştır.

Basitçe söylemek gerekirse, bir topolojik gömme bir uzayı başka bir uzayın içine yerleştirirken onun topolojik yapısını korur. Bu nedenle gömülen uzay, yeni ortamında da aynı topolojik özelliklere sahip olmaya devam eder.

Bir fonksiyonun topolojik gömme olabilmesi için şu üç koşulu sağlaması gerekir:

1. Fonksiyon sürekli olmalıdır.
2. Fonksiyon birebir (injektif) olmalıdır.
3. Görüntü kümesi üzerinde tanımlanan ters fonksiyon da sürekli olmalıdır.

Bu koşullar sayesinde \( X \) uzayının topolojik yapısı, \( Y \) içindeki görüntüsü olan \( f(X) \) üzerinde eksiksiz biçimde korunur. Başka bir deyişle, \( f(X) \) kümesi \( Y \)'nin bir altuzayıdır ve \( X \) ile aynı topolojik yapıya sahiptir.

Pratik bir örnek

Kavramı daha somut hale getirmek için iki topolojik uzay tanımlayalım.

• \( X \) uzayı
  \( X = \{a, b, c\} \) kümesi üzerinde \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, X\} \) topolojisi tanımlı olsun. Bu topoloji, \( X \) uzayındaki açık kümeleri belirler.
• \( Y \) uzayı
  \( Y = \{1,2,3,4\} \) kümesi üzerinde \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}, Y\} \) topolojisi tanımlı olsun. Bu topoloji de \( Y \) uzayındaki açık kümeleri belirler.

Şimdi aşağıdaki fonksiyonu ele alalım:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Bu fonksiyonun bir topolojik gömme olup olmadığını adım adım inceleyelim.

1. Fonksiyonun sürekliliği

\( f: X \rightarrow Y \) fonksiyonu, açık kümeler aracılığıyla tanımlanan süreklilik kavramına göre, \( Y \)'deki her açık kümenin ters görüntüsü \( X \)'te açık ise süreklidir.

Bu nedenle \( \mathcal{T}_Y \)'deki açık kümelerin ters görüntülerini hesaplayalım:

• \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2\}) = \{a,b\} \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(\{1,2,3\}) = X \in \mathcal{T}_X \)
• \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \)

Tüm ters görüntüler \( X \)'te açık olduğundan, \( f \) fonksiyonu süreklidir.

2. Birebirlik (İnjektiflik)

Fonksiyonun birebir olup olmadığını kontrol edelim:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Her eleman farklı bir görüntüye gönderildiği için iki farklı eleman aynı değere eşlenmez. Dolayısıyla \( f \) birebirdir.

3. Ters fonksiyonun sürekliliği

Öncelikle fonksiyonun görüntü kümesini belirleyelim:

$$ f(X) = \{1,2,3\} \subseteq Y $$

Şimdi bu küme üzerinde indüklenen altuzay topolojisini oluşturalım.

Şimdi görüntü kümesi üzerinde tanımlanan ters fonksiyonu inceleyelim:

$$ f^{-1}: f(X) \rightarrow X $$

\( f^{-1} \)'nin sürekli olması için, \( X \)'te açık olan her kümenin ters görüntüsünün \( \mathcal{T}_{f(X)} \) içinde açık olması gerekir.

• \( \emptyset \)'in ters görüntüsü \( \emptyset \)'dir.
• \( \{a\} \)'nın ters görüntüsü \( \{1\} \)'dir.
• \( \{a,b\} \)'nin ters görüntüsü \( \{1,2\} \)'dir.
• \( X \)'in ters görüntüsü \( \{1,2,3\} \)'tür.

Bu kümelerin tamamı \( \mathcal{T}_{f(X)} \) içinde açık olduğundan, \( f^{-1} \) fonksiyonu süreklidir.

Böylece üç koşulun da sağlandığını görmüş olduk:

• \( f \) süreklidir.
• \( f \) birebirdir.
• \( f^{-1} \) süreklidir.

Sonuç olarak, \( f \) fonksiyonu \( X \) ile \( f(X) \) arasında bir topolojik gömmedir.

Dikkat edilirse, görüntü kümesi \( \{1,2,3\} \), \( Y \)'nin tamamını kapsamaz. Buna rağmen \( X \)'in topolojik yapısı bu görüntü içinde eksiksiz olarak korunmaktadır. Topolojik gömmenin temel fikri de tam olarak budur.

Topolojik gömme ile homeomorfizma arasındaki fark

Topolojik gömme ile homeomorfizma birbirine yakın kavramlar olsa da aynı şey değildir.

• Homeomorfizma
  Homeomorfizma, \( X \) ile \( Y \) arasında birebir ve örten bir fonksiyondur. Fonksiyonun kendisi ve tersi sürekli olduğundan, iki uzay topolojik açıdan tamamen eşdeğerdir.
• Topolojik gömme
  Topolojik gömme, \( X \)'i \( Y \)'nin içine yerleştirirken topolojik yapısını korur. Ancak bu koruma yalnızca görüntü kümesi \( f(X) \) üzerinde geçerlidir. Dolayısıyla \( f(X) \), \( Y \)'nin bir altuzayı olarak \( X \) ile homeomorfiktir.

Kısacası, homeomorfizmada iki uzay tamamen aynı topolojik yapıya sahiptir. Topolojik gömmede ise bir uzay, başka bir uzayın içinde topolojik özelliklerini koruyacak şekilde temsil edilir.

Ve benzeri durumlar...