Kapalı Kümelerin Ayırt Edici Özelliği
Bir \( A \) kümesi, ancak ve ancak bir topolojik uzayda \( A \) kümesinin kapanışı kendisiyle çakışıyorsa kapalıdır. Bu temel özellik şu eşitlikle ifade edilir: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Pratik Bir Örnek
Standart topolojiyle donatılmış \( \mathbb{R} \) topolojik uzayını ve \( A = [0, 1] \) kümesini ele alalım.
Topolojide bir kümenin kapalı olması, tüm yığılma noktalarını içinde barındırması anlamına gelir. \( A = [0, 1] \) kümesi için bu yığılma noktaları, \( 0 \) ile \( 1 \) arasındaki tüm noktaları ve ayrıca uç noktalar olan \( 0 \) ve \( 1 \)'i kapsar.
\( A \) kümesi bu noktaların tamamını içerdiği için kapalıdır.
Bu durumu kapanış kavramı üzerinden de doğrulayabiliriz.
Standart topolojide \( A \) kümesinin kapanışı yine kendisidir, yani \( \text{Cl}(A) = [0, 1] \). Bunun nedeni, bu kümenin tüm yığılma noktalarını zaten içermesidir.
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Dolayısıyla \( A = [0, 1] \) kümesinin kapalı olduğu, hem sezgisel olarak hem de tanımsal olarak açıkça görülmektedir.
Bu örnek aynı zamanda genel bir ilkeyi de vurgular: Bir küme, ancak ve ancak kendi kapanışına eşitse kapalıdır.
İspat
Bu sonucun neden doğru olduğunu görmek için önce temel tanımları hatırlayalım.
- Kapanışın tanımı: Bir \( A \) kümesinin kapanışı, \( \text{Cl}(A) \) ile gösterilir ve \( A \) kümesinin tüm noktaları ile onun yığılma noktalarının birleşiminden oluşur. Biçimsel olarak: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid x'in her komşuluğu A'nın en az bir noktasını içerir \} \]
- Kapalı küme: Bir \( A \) kümesi, tüm yığılma noktalarını içeriyorsa kapalı olarak tanımlanır.
Şimdi bu tanımlara dayanarak eşdeğerliği iki yönde gösterelim.
1] Eğer \( A \) kapalıysa, o halde \( A = \text{Cl}(A) \)
\( A \) kapalı ise, tanım gereği tüm yığılma noktalarını içerir.
Bu nedenle \( A \)'nın, kümenin dışında kalan herhangi bir yığılma noktası yoktur.
Kapanış, bir kümenin kendisi ile yığılma noktalarının birleşimi olarak tanımlandığından:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{A'nın yığılma noktaları} \} = A $$
Buradan doğrudan \( A = \text{Cl}(A) \) sonucuna ulaşılır.
2] Eğer \( A = \text{Cl}(A) \) ise, o halde \( A \) kapalıdır
\( A = \text{Cl}(A) \) eşitliği, \( A \) kümesinin kapanışta yer alan tüm yığılma noktalarını da içerdiğini ifade eder.
Dolayısıyla tanım gereği \( A \) kapalı bir kümedir.
