Bölüm Topolojisinde Açık Kümelerin Sonlu Kesişimi

Bölüm topolojisinde önemli bir özellik şudur: Açık kümelerden oluşan bir ailenin sonlu kesişiminin ters görüntüsü, bu kümelerin ters görüntülerinin kesişimine eşittir. Bu kesişim, X uzayının başlangıç topolojisinde açık bir küme oluşturur. $$ p^{-1}( \bigcap U_i ) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Bu nedenle, açık kümelerin sonlu kesişimi bölüm topolojisinde de açık kalır.

Somut Bir Örnek

Bu özelliği daha iyi anlamak için yaygın bir bölüm uzayı olan $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ uzayını ele alalım. Bu uzayı sezgisel olarak bir çember gibi düşünebiliriz.

Başlangıç uzayı $ \mathbb{R} $ gerçek sayılar kümesidir. Bölüm dönüşümü $ p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, her gerçek sayıyı kesirli kısmına, yani çember üzerindeki karşılığına gönderir.

Bu nedenle bölüm uzayı genellikle [0,1) aralığı ile temsil edilir.

Örneğin 0.3, 1.3 ve 2.3 sayıları çember üzerinde aynı noktayı temsil eder.

gerçek sayıların çember üzerindeki karşılıklarının görselleştirilmesi

Şimdi çember üzerinde iki açık küme seçelim:

$$ U_1 = (0.1, 0.5) $$

$$ U_2 = (0.3, 0.7) $$

Bu aralıklar, bölüm topolojisi $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ içinde açık kümelerdir.

Bu iki kümenin kesişimini hesaplayalım:

$$ U_1 \cap U_2 = (0.3, 0.5) $$

Elde ettiğimiz küme yine açıktır. Çünkü çember üzerinde bir açık aralık elde ediyoruz.

Şimdi bu durumu başlangıç uzayı olan $ \mathbb{R} $ üzerinde inceleyelim. $ p $ dönüşümü altında bu kümelerin ters görüntüleri, gerçek doğru boyunca periyodik olarak tekrar eden sonsuz sayıda açık aralığın birleşimi şeklindedir.

$ U_1 $ kümesinin ters görüntüsü:

$$ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.5) \cup (1.1, 1.5) \cup (2.1, 2.5) \cup \dots $$

$ U_2 $ kümesinin ters görüntüsü:

$$ p^{-1}(U_2) = (0.3, 0.7) \cup (1.3, 1.7) \cup (2.3, 2.7) \cup \dots $$

Şimdi kesişimin ters görüntüsüne bakalım:

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = (0.3, 0.5) \cup (1.3, 1.5) \cup (2.3, 2.5) \cup \dots $$

Görüldüğü gibi bu küme de $ \mathbb{R} $ üzerinde açık aralıkların birleşimidir, yani açıktır.

Bu gözlem önemli bir sonucu doğrular: Eğer bir kümenin ters görüntüsü başlangıç uzayında açıksa, o küme bölüm topolojisinde de açıktır.

Dolayısıyla, $ U_1 \cap U_2 $ kümesi $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ içinde açıktır.

Sonuç olarak, açık kümelerin sonlu kesişiminin açık kalması, bölüm topolojisinin temel ve beklenen özelliklerinden biridir.

Bu özellik daha genel durumlara da aynı şekilde uygulanır.