Küme Kapanışıyla İlgili Süreklilik Teoremi

$ f : X \to Y $ sürekli bir fonksiyon ve $ A \subset X $ bir küme olsun. Eğer $ x \in X $ noktası $ A $ kümesinin kapanışında yer alıyorsa, yani $ x \in Cl(A) $ ise, bu noktanın görüntüsü olan $ f(x) $ da $ f(A) $ görüntü kümesinin kapanışında yer alır. Başka bir ifadeyle, $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Bu teorem, topolojide süreklilik kavramının en önemli sonuçlarından birini ortaya koyar. Sürekli bir fonksiyon, bir kümenin kapanışında bulunan noktalar ile bu noktaların görüntüleri arasındaki ilişkiyi korur.

Sezgisel olarak düşünürsek, bir nokta bir kümeye yeterince yakınsa, yani o kümenin kapanışında yer alıyorsa, sürekli bir fonksiyon altında elde edilen görüntüsü de ilgili görüntü kümesine aynı anlamda yakın kalır.

Pratik Bir Örnek
İspat

Pratik Bir Örnek

Bu sonucu somut bir örnek üzerinde inceleyelim. $ X=\mathbb{R} $ topolojik uzayında tanımlı

$$ f(x)=x^2 $$

fonksiyonunu ve

$$ A=(0,2)\subseteq\mathbb{R} $$

kümesini ele alalım.

$ A $ kümesinin kapanışı

$$ Cl(A)=[0,2] $$

şeklindedir. Çünkü 0 ve 2 noktaları kümeye ait değildir, ancak kümenin sınır noktalarıdır. Kapanış oluşturulurken bu noktalar da kümeye eklenir.

$ A $ kümesinin $ f(x)=x^2 $ fonksiyonu altındaki görüntüsü ise

$$ f(A)=(0,4) $$

olur. Gerçekten de $ x $ değeri 0 ile 2 arasında değişirken, $ x^2 $ değeri de 0 ile 4 arasında değişir; ancak uç değerler elde edilmez.

Bu görüntü kümesinin kapanışı

$$ Cl(f(A))=[0,4] $$

olur. Çünkü 0 ve 4 noktaları görüntü kümesinin sınır noktalarıdır ve kapanışa dahil edilir.

Şimdi teoremi kontrol edelim:

$ x=0 \in Cl(A) $ ise, $ f(0)=0 \in Cl(f(A)) $
$ x=2 \in Cl(A) $ ise, $ f(2)=4 \in Cl(f(A)) $
\( 0

Görüldüğü gibi, $ A $ kümesinin kapanışında bulunan her noktanın görüntüsü, $ f(A) $ görüntü kümesinin kapanışında yer almaktadır. Bu da teoremin öngördüğü sonucu doğrular.

İspat

$ f : X \to Y $ sürekli bir fonksiyon, $ x \in X $ bir nokta ve $ A \subset X $ bir küme olsun.

Teoremi doğrudan kanıtlamak yerine, mantıksal olarak eşdeğer olan karşıt ters önermeyi göstereceğiz.

$ f(x) $ noktasının $ f(A) $ kümesinin kapanışında bulunmadığını varsayalım:

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Kapanış tanımına göre, $ f(x) $'i içeren ve $ f(A) $ ile kesişmeyen bir açık komşuluk $ B \subseteq Y $ vardır:

$$ B \cap f(A)=\emptyset $$

Başka bir deyişle, $ f(x) $'in çevresinde, $ f(A) $ kümesinden hiçbir noktayı içermeyen bir açık bölge bulunabilir.

$ f $ sürekli olduğundan, bu açık kümenin ters görüntüsü

$$ f^{-1}(B) $$

$ X $ uzayında açık bir kümedir ve $ x $ noktasını içerir.

Sürekliliğin temel özelliklerinden biri, açık kümelerin ters görüntülerinin açık kalmasıdır.

Ayrıca $ B \cap f(A)=\emptyset $ olduğundan, $ f^{-1}(B) $ kümesi de $ A $ ile kesişemez. Dolayısıyla

$$ f^{-1}(B)\cap A=\emptyset $$

elde edilir.

Bu sonuç, $ x $ noktasının etrafında $ A $ kümesinden hiçbir nokta içermeyen açık bir komşuluk bulunduğunu gösterir.

O halde kapanışın tanımına göre

$$ x \notin Cl(A) $$

olmalıdır.

Böylece şu önerme kanıtlanmış olur:

$$ f(x)\notin Cl(f(A)) \Rightarrow x\notin Cl(A) $$

Bu ifade, teoremin karşıt tersidir. Karşıt ters önerme özgün önerme ile mantıksal olarak eşdeğer olduğundan şu sonuca ulaşırız:

$$ x\in Cl(A) \Rightarrow f(x)\in Cl(f(A)) $$

Böylece teorem tamamlanmış olur.

Not: Bu teoremin özü, sürekliliğin yakınlık ilişkilerini korumasıdır. Bir nokta bir kümenin kapanışında yer alıyorsa, sürekli bir fonksiyon altında elde edilen görüntüsü de görüntü kümesinin kapanışında kalır. Bu özellik, topolojide süreklilik kavramının geometrik ve sezgisel anlamını açıklayan temel sonuçlardan biridir.

Ve bu şekilde devam eder.