Topolojide dahil etme fonksiyonunun sürekliliği

\( X \) bir topolojik uzay ve \( Y \), \( X \)’in bir alt kümesi olsun. Bu durumda dahil etme fonksiyonu \( f : Y \to X \), her \( y \in Y \) için \( f(y)=y \) olacak şekilde tanımlanır. Bu fonksiyon süreklidir.

Dahil etme fonksiyonu, topolojide sıkça kullanılan temel kavramlardan biridir. Bu fonksiyon, bir alt kümenin elemanlarını daha büyük bir uzayın içine doğal biçimde yerleştirir.

Başka bir deyişle, \( f \) fonksiyonu \( Y \)’deki her elemanı değiştirmeden \( X \) uzayındaki karşılık gelen elemana gönderir.

İlk bakışta oldukça basit görünse de, bu fonksiyonun sürekli olması altuzay topolojisinin nasıl tanımlandığını anlamak açısından büyük önem taşır.

Not: Dahil etme fonksiyonu ile özdeşlik fonksiyonu aynı şey değildir. Özdeşlik fonksiyonu bir uzaydaki her elemanı yine kendisine eşler. Dahil etme fonksiyonu ise bir alt kümeden daha büyük bir uzaya geçişi ifade eder.

Neden süreklidir?

Topolojide bir fonksiyonun sürekli olması için, \( X \) içindeki her açık küme \( U \) için, bu kümenin ters görüntüsü \( f^{-1}(U) \)’nun \( Y \) içinde açık olması gerekir.

Altuzay topolojisinin tanımına göre, \( Y \)’de açık olan kümeler tam olarak \( X \)’teki açık kümelerin \( Y \) ile kesişimleridir.

$$ f^{-1}(U) = U \cap Y $$

Burada önemli nokta şudur: Eğer \( U \), \( X \) içinde açık bir küme ise, \( U \cap Y \) de otomatik olarak \( Y \) içinde açık olur.

Dolayısıyla, dahil etme fonksiyonunun her açık kümenin ters görüntüsünü açık bir kümeye dönüştürdüğünü görürüz. Bu nedenle \( f \) fonksiyonu süreklidir.

Not: Bu özellik, altuzay topolojisinin özellikle dahil etme fonksiyonunu sürekli yapacak şekilde tanımlandığını gösterir.

Pratik bir örnek

\( X=\mathbb{R} \) topolojik uzayını, yani reel sayı doğrusunu, ve bunun alt kümesi olan \( Y=(0,1) \) açık aralığını ele alalım.

Dahil etme fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

$$ f(y)=y \ \ \ \text{tüm} \ \ y \in (0,1) \ \text{için} $$

Bu fonksiyon aslında \( (0,1) \) aralığındaki sayıları değiştirmez. Sadece onları daha büyük bir uzay olan \( \mathbb{R} \) içinde değerlendirir.

Şimdi \( X \) içinde açık bir küme seçelim:

$$ U=(-1,0.5) $$

Bu kümenin \( Y=(0,1) \) ile kesişimini hesaplayalım:

$$ U \cap Y = (-1, 0.5) \cap (0,1) = (0,0.5) $$

Elde edilen \( (0,0.5) \) aralığı, \( Y \) içinde açık bir kümedir.

Dolayısıyla \( X \)’teki açık bir kümenin ters görüntüsü yine açık çıkmaktadır. Bu da dahil etme fonksiyonunun sürekli olduğunu doğrular.

Aynı mantık diğer tüm açık kümeler için de geçerlidir.