Açık Kümeler Üzerinden Süreklilik Tanımı
\( f : X \to Y \) fonksiyonu, ancak ve ancak \( X \) içindeki her \( x \in X \) noktası ve \( f(x) \)'i içeren her açık \( U \subset Y \) kümesi için, \( x \)'i içeren bir \( V \) komşuluğu bulunup \( f(V) \subset U \) koşulu sağlanıyorsa süreklidir.
Daha pratik bir ifadeyle, bir fonksiyonun sürekli olması için değer kümesindeki her açık kümenin ters görüntüsünün tanım kümesinde de açık olması gerekir.
Bu yaklaşım, sürekliliği limitler veya \(\varepsilon\)-\(\delta\) koşulları yerine tamamen topolojik kavramlar üzerinden tanımlar.
Özellikle topolojide, süreklilik denildiğinde çoğu zaman ilk başvurulan tanım budur.
Kısacası, bir fonksiyon ancak ve ancak her açık kümenin ters görüntüsü açıksa süreklidir.
Bu nedenle söz konusu tanım, literatürde açık kümeler üzerinden süreklilik tanımı olarak bilinir.
Not: Bu sonuç aynı zamanda sürekliliğin farklı tanımlarının eşdeğer olduğunu gösterir. Analizde kullanılan \(\varepsilon\)-\(\delta\) tanımı ile topolojide kullanılan açık kümeler tanımı aslında aynı kavramı ifade eder. Sürekliliğin klasik analitik tanımı şöyledir: "\( f \) fonksiyonu, \( x_0 \in \mathbb{R} \) noktasında süreklidir; eğer her \(\varepsilon > 0\) için bir \(\delta > 0\) bulunuyor ve \( |x-x_0| < \delta \) olduğunda \( |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon \) koşulu sağlanıyorsa." Üniversite düzeyindeki analiz derslerinde genellikle bu tanım kullanılır.
Süreklilik yalnızca açık kümelerle değil, kapalı kümeler yardımıyla da tanımlanabilir.
\( X \) ve \( Y \) iki topolojik uzay olsun. Bu durumda \( f:X \to Y \) fonksiyonu, ancak ve ancak \( Y \) içindeki her kapalı \( C \) kümesinin ters görüntüsü \( f^{-1}(C) \), \( X \) içinde de kapalıysa süreklidir.
Dolayısıyla süreklilik kavramı hem açık kümeler hem de kapalı kümeler kullanılarak ifade edilebilir. Bunun nedeni, topolojide açıklık ve kapalılık kavramlarının birbirini tamamlayan özellikler olmasıdır.
Bir Örnek Üzerinden İnceleyelim
\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) fonksiyonunu ele alalım:
$$ f(x)=x^2 $$
Bu fonksiyonun açık kümeler tanımına göre sürekli olup olmadığını adım adım inceleyelim.
Öncelikle değer kümesinde bir açık küme seçelim.
Örneğin:
$$ U=(1,4) $$
Bu açık aralık, 1 ile 4 arasındaki tüm reel sayıları içerir.
Şimdi bu kümenin ters görüntüsünü bulalım.
Başka bir ifadeyle, karesi 1 ile 4 arasında kalan bütün \( x \) değerlerini arıyoruz:
$$ 1 < x^2 < 4 $$
Bu eşitsizlik şu koşula denktir:
$$ 1 < |x| < 2 $$
Dolayısıyla:
$$ x \in (-2,-1)\cup(1,2) $$
olur.
Buna göre ters görüntü kümesi
$$ f^{-1}(U)=(-2,-1)\cup(1,2) $$
şeklindedir.
Bu küme açık aralıkların birleşimi olduğu için \( \mathbb{R} \) içinde açık bir kümedir.
İlk koşulun sağlandığını görmüş olduk.
Bir Noktadaki Davranış
Şimdi ters görüntü kümesinden bir nokta seçelim.
Örneğin:
$$ x=1.5 $$
Bu noktanın görüntüsü:
$$ f(1.5)=1.5^2=2.25 $$
olup \( U=(1,4) \) aralığının içindedir.
Şimdi \( x=1.5 \) etrafında küçük bir komşuluk seçelim:
$$ V=(1.4,1.6) $$
Bu aralıktaki uç noktaların görüntülerini hesaplayalım:
$$ f(1.4)=1.4^2=1.96 $$
$$ f(1.6)=1.6^2=2.56 $$
Dolayısıyla:
$$ f(V)=(1.96,2.56) $$
elde edilir.
Bu aralığın tamamı hâlâ \( U=(1,4) \) kümesinin içindedir:
$$ f(V)\subset U $$
Yani \( x=1.5 \) noktasının yeterince küçük bir komşuluğu seçildiğinde, bu komşuluğun görüntüsü tamamen \( U \) içinde kalmaktadır.
Bu durum yalnızca bu nokta için değil, ters görüntü kümesindeki tüm noktalar için geçerlidir.
Dolayısıyla \( f(x)=x^2 \) fonksiyonu açık kümeler üzerinden verilen süreklilik tanımını sağlar.
Not: Sürekliliği kanıtlamak için tek bir noktayı incelemek yeterli değildir. Süreklilik, fonksiyonun tanım kümesindeki bütün noktalar için doğrulanmalıdır. Başka bir ifadeyle, her \( x \in X \) noktası ve \( f(x) \)'i içeren her açık \( U \) kümesi için, \( x \)'i içeren bir komşuluk bulunmalı ve bu komşuluğun görüntüsü tamamen \( U \) içinde kalmalıdır.
İspat
Teoremin ispatı iki yönde gerçekleştirilir.
A] Birinci Yön
\( f \) fonksiyonunun açık kümeler tanımına göre sürekli olduğunu varsayalım.
\( X \) içinde bir \( x \) noktası ve \( f(x)\in U \) olacak şekilde açık bir \( U \subset Y \) kümesi seçelim.
Şimdi
$$ V=f^{-1}(U) $$
kümesini tanımlayalım.
Bu küme, \( U \) içine gönderilen bütün noktaların kümesidir.
Fonksiyon sürekli olduğundan, açık kümeler tanımına göre \( V \) kümesi \( X \) içinde açıktır.
Ayrıca \( x \in V \) ve \( f(V)\subset U \) olduğundan, \( f(x) \)'i içeren her açık küme için \( x \)'i içeren uygun bir komşuluk bulunduğunu göstermiş oluruz.
B] İkinci Yön
Şimdi tersini varsayalım.
Yani her \( x \in X \) noktası ve \( f(x) \)'i içeren her açık \( U \subset Y \) kümesi için, \( x \)'i içeren bir \( V \) komşuluğu bulunduğunu ve
$$ f(V)\subset U $$
olduğunu kabul edelim.
Amacımız, \( Y \) içindeki her açık \( W \) kümesi için \( f^{-1}(W) \)'nun \( X \) içinde açık olduğunu göstermektir.
Bunun için \( x \in f^{-1}(W) \) olacak herhangi bir nokta seçelim.
Bu durumda \( f(x)\in W \) olur.
\( W \) açık olduğundan, varsayım gereği \( x \)'i içeren bir \( V_x \) komşuluğu vardır ve
$$ f(V_x)\subset W $$
sağlanır.
Buradan
$$ V_x\subset f^{-1}(W) $$
sonucu elde edilir.
Dolayısıyla \( f^{-1}(W) \)'nun her noktası etrafında açık bir komşuluk bulunmaktadır.
Bu da \( f^{-1}(W) \)'nun açık bir küme olduğunu gösterir.
Sonuç
Böylece sürekliliğin açık kümeler aracılığıyla verilen tanımı ile komşuluklar aracılığıyla verilen tanımın eşdeğer olduğu kanıtlanmış olur.
Bu eşdeğerlik, topolojide süreklilik kavramının temel taşlarından biridir ve modern topolojik süreklilik anlayışının temelini oluşturur.
