Her sürekli fonksiyon açık dönüşüm değildir

\( f: X \to Y \) biçimindeki sürekli bir fonksiyon, \( X \) içindeki açık kümeleri her zaman \( Y \) içinde açık kümelere göndermez.

Topolojide süreklilik ile açıklık aynı kavram değildir. Bir fonksiyon sürekli olabilir, ancak açık kümeleri açık kümelere göndermeyebilir.

Bu nedenle, her sürekli fonksiyon açık dönüşüm değildir.

Açık dönüşüm nedir? Bir açık dönüşüm \( f: X \to Y \), \( X \) içindeki her açık kümeyi \( Y \) içinde açık bir kümeye gönderen fonksiyondur.

Başka bir ifadeyle, bir fonksiyonun sürekli olması tek başına yeterli değildir. Tanım kümesindeki açık bir kümenin görüntüsü, değer kümesinde açık olmayabilir.

Somut bir örnek

\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon \( \mathbb{R} \) üzerinde süreklidir.

Şimdi \( \mathbb{R} \) içindeki \( (-2,2) \) açık kümesini düşünelim. Bu küme, \( -2 \) ile \( 2 \) arasındaki tüm gerçek sayıları içerir.

Fonksiyonu bu kümeye uyguladığımızda şu sonuçları elde ederiz:

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Dolayısıyla \( (-2,2) \) kümesinin görüntüsü \( [0,4) \) aralığı olur.

Ancak \( [0,4) \) açık bir küme değildir. Çünkü \( 0 \) noktası aralıkta yer alsa da, tamamı bu aralık içinde kalan herhangi bir \( 0 \) komşuluğu bulunmaz. Başka bir deyişle, \( 0 \) aralığın kapalı alt sınırıdır.

Bu örnek, \( f(x)=x^2 \) fonksiyonunun sürekli olmasına rağmen açık dönüşüm olmadığını açık biçimde gösterir.

Süreklilik ile açıklık arasındaki fark

Süreklilik ve açıklık birbirine yakın görünen, ancak farklı matematiksel özellikleri ifade eden iki ayrı kavramdır.

• Sürekli fonksiyon
  \( f: X \to Y \) fonksiyonu, \( Y \) içindeki her açık kümenin ters görüntüsü \( X \) içinde açıksa süreklidir.

  Bu durumda odak noktası, açık kümelerin değer kümesinden tanım kümesine geri taşınmasıdır. Yani süreklilik, ters görüntülerin açık kalıp kalmadığıyla ilgilenir.

• Açık dönüşüm
  \( f: X \to Y \) fonksiyonu, \( X \) içindeki açık kümeleri \( Y \) içinde açık kümelere gönderiyorsa açık dönüşümdür.

  Burada ise açık kümelerin tanım kümesinden değer kümesine taşınması önemlidir. Yani görüntü kümelerinin açık olup olmadığı incelenir.

Özetle, süreklilik ters görüntülerle, açıklık ise görüntülerle ilgilenir. Bu nedenle bir fonksiyon sürekli olabilir, fakat açık dönüşüm olmayabilir.

Ve benzeri.