Yapıştırma Lemması
\( X \) bir topolojik uzay olsun. \( A \) ve \( B \), \( X \)’in kapalı iki alt kümesi olsun ve bu iki kümenin birleşimi tüm uzayı örtsün, yani \( A \cup B = X \) olsun. Eğer \( f: A \to Y \) ve \( g: B \to Y \) fonksiyonları bir topolojik uzay olan \( Y \)’ye sürekli fonksiyonlarsa ve kesişim kümesinde aynı değerleri alıyorlarsa, yani \( A \cap B \) içindeki her \( x \) noktası için \( f(x)=g(x) \) ise, o halde aşağıdaki şekilde tanımlanan \( h: X \to Y \) fonksiyonu da süreklidir:
$$ h(x)=\begin{cases} f(x) & \text{eğer } x \in A, \\ g(x) & \text{eğer } x \in B. \end{cases} $$
Yapıştırma lemması, farklı bölgelerde tanımlanan sürekli fonksiyonların tek bir sürekli fonksiyon hâline nasıl getirilebileceğini açıklayan temel sonuçlardan biridir. Topolojide ve diferansiyel geometriden fonksiyon analizine kadar birçok alanda sıkça kullanılır.
Temel fikir oldukça basittir. Eğer iki sürekli fonksiyon ortak bölgede birbiriyle uyumluysa, bu fonksiyonlar “yapıştırılarak” daha büyük bir küme üzerinde yeni bir sürekli fonksiyon oluşturulabilir.
Pratik bir örnek
Şimdi bu fikri somut bir örnek üzerinden inceleyelim.
Farklı aralıklar üzerinde tanımlı iki fonksiyon düşünelim:
- \( f:[0,1]\to\mathbb{R} \), \( f(x)=x \) biçiminde tanımlansın. Bu fonksiyon \( [0,1] \) aralığında süreklidir.
- \( g:[1,2]\to\mathbb{R} \), \( g(x)=2-x \) biçiminde tanımlansın. Bu fonksiyon da \( [1,2] \) aralığında süreklidir.
Şimdi yapıştırma lemmasının koşullarını kontrol edelim.
- Kapalı kümeler: \( [0,1] \) ve \( [1,2] \) aralıkları, \( \mathbb{R} \) içinde kapalı kümelerdir.
- Uzayın örtülmesi: \( A=[0,1] \) ve \( B=[1,2] \) kümelerinin birleşimi \( [0,2] \) aralığını verir. Dolayısıyla \( A \cup B=[0,2] \).
- Ortak bölgede uyum: Kesişim kümesi \( A \cap B=\{1\} \)’dir. Şimdi iki fonksiyonun bu noktada aynı değeri verip vermediğini kontrol edelim:
- \( f(1)=1 \)
- \( g(1)=2-1=1 \)
Sonuç olarak:
$$ f(1)=g(1)=1 $$
Böylece lemmanın tüm koşulları sağlanmış olur.
Şimdi \( h:[0,2]\to\mathbb{R} \) fonksiyonunu şu şekilde tanımlayabiliriz:
$$ h(x)=\begin{cases} f(x)=x & \text{eğer } x \in [0,1], \\ g(x)=2-x & \text{eğer } x \in [1,2]. \end{cases} $$
Bu fonksiyonun neden sürekli olduğuna bakalım:
- \( [0,1] \) aralığında \( h(x)=x \) olur ve bu fonksiyon süreklidir.
- \( [1,2] \) aralığında \( h(x)=2-x \) olur ve bu fonksiyon da süreklidir.
- Ortak nokta olan \( x=1 \) için iki fonksiyon aynı değeri verdiğinden, süreklilik bu noktada bozulmaz.
Dolayısıyla \( h(x) \), tüm \( [0,2] \) aralığında sürekli bir fonksiyondur.
Geometrik açıdan bakıldığında grafik iki doğru parçasından oluşur:
- \( [0,1] \) aralığında artan bir doğru vardır.
- \( [1,2] \) aralığında ise azalan bir doğru bulunur.
Bu iki doğru \( x=1 \) noktasında birleşir ve grafik kesintisiz bir şekilde devam eder.
İspat
Şimdi lemmanın neden doğru olduğunu gösterelim.
Bir fonksiyonun sürekli olduğunu göstermek için, \( Y \) içindeki her kapalı kümenin ters görüntüsünün \( X \) içinde kapalı olduğunu kanıtlamak yeterlidir.
Başka bir ifadeyle, eğer \( C \subseteq Y \) kümesi kapalıysa, \( h^{-1}(C) \) kümesinin de kapalı olması gerekir.
\( h(x) \) fonksiyonu \( A \) ve \( B \) üzerinde farklı biçimlerde tanımlandığından, ters görüntü şu şekilde yazılır:
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C). $$
Burada:
- \( f^{-1}(C) \), görüntüsü \( C \) içinde kalan \( A \) noktalarının kümesidir.
- \( g^{-1}(C) \), görüntüsü \( C \) içinde kalan \( B \) noktalarının kümesidir.
\( f \) sürekli olduğundan, \( C \) kapalı ise \( f^{-1}(C) \) kümesi \( A \) içinde kapalıdır.
Ayrıca \( A \), \( X \) içinde kapalı olduğundan, \( f^{-1}(C) \) aynı zamanda \( X \) içinde de kapalıdır.
Aynı şekilde, \( g \) sürekli olduğundan \( g^{-1}(C) \) kümesi de \( X \) içinde kapalıdır.
Sonuç olarak:
$$ h^{-1}(C)=f^{-1}(C)\cup g^{-1}(C) $$
ifadesi, iki kapalı kümenin birleşimidir.
Topolojik uzaylarda sonlu sayıda kapalı kümenin birleşimi yine kapalı olduğundan, \( h^{-1}(C) \) de kapalıdır.
Dolayısıyla \( h \) fonksiyonu süreklidir.
Böylece Yapıştırma Lemmasının ispatı tamamlanmış olur.
Ve benzeri şekilde devam eder.
