Bölüm Topolojisinde Açık Kümelerin Birleşiminin Açıklığı

Bölüm topolojisi \( Q \) üzerinde tanımlı bir açık küme ailesi \( \{U_i\} \) verildiğinde, bu kümelerin birleşiminin ters görüntüsü, tek tek ters görüntülerin birleşimine eşittir. Bu ters görüntüler başlangıç topolojisi \( X \) içinde açık olduğundan, birleşimleri de açıktır. $$ p^{-1}\!\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Bu nedenle, açık kümelerin keyfi birleşimi bölüm topolojisinde de açık kalır.

Sezgisel Bir Bakış

Gerçel sayılar kümesini \( \mathbb{R} \) ele alalım ve \( p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) dönüşümünü kullanalım. Bu dönüşüm, her sayıyı 1’e göre eşdeğerlik sınıfına gönderir.

Daha somut bir ifadeyle, her sayının görüntüsü onun kesirli kısmıdır. Yani 0.3, 1.3, 2.3 gibi sayılar bölüm uzayında aynı noktaya karşılık gelir.

Bu yapı, aslında bir çember gibi davranır. Gerçel doğruyu 1 uzunluğunda parçalara ayırıp uçlarını birleştiriyormuşuz gibi düşünebilirsin. Bu yüzden \( Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), [0,1) aralığıyla temsil edilen bir çemberdir.

Örnek Üzerinden İnceleme

Şimdi bu uzayda iki açık küme alalım:

• \( U_1 = (0.1, 0.4) \)
• \( U_2 = (0.6, 0.8) \)

Bu kümeler, çember üzerinde iki ayrı açık yay gibi düşünülebilir.

Bu kümelerin ters görüntülerine bakalım:

• \( U_1 \) için: \[ p^{-1}(U_1) = (0.1, 0.4) \cup (1.1, 1.4) \cup (2.1, 2.4) \cup \dots \]
• \( U_2 \) için: \[ p^{-1}(U_2) = (0.6, 0.8) \cup (1.6, 1.8) \cup (2.6, 2.8) \cup \dots \]

Gördüğün gibi, her açık aralık gerçel doğru boyunca periyodik olarak tekrar eder.

Şimdi bu iki kümeyi birleştirelim:

$$ U_1 \cup U_2 = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) $$

Bu birleşimin ters görüntüsü:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Yani açıkça:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0.1, 0.4) \cup (0.6, 0.8) \cup (1.1, 1.4) \cup (1.6, 1.8) \cup \dots $$

Bu küme, \( \mathbb{R} \) üzerinde açık aralıkların birleşimi olduğu için açıktır.

Sonuç olarak, başlangıçta seçtiğimiz \( U_1 \) ve \( U_2 \) açık kümelerinin birleşimi de bölüm topolojisinde açık kalır.

Bu örnek, genel ilkenin özel bir durumudur: bölüm topolojisinde açık kümelerin birleşimi her zaman açıktır.