이산 위상 (Discrete Topology)

이산 위상 T는 집합 X 위에서 정의될 수 있는 가장 포괄적인 위상으로, X의 모든 가능한 부분집합을 포함한다. 즉, X의 어떤 부분집합이든 열린 집합으로 간주되는 특별한 경우다.

이산 위상에서는 열린 집합들의 모임 T가 X의 모든 부분집합을 포함하므로, X의 모든 원소는 "열린 점"으로 취급된다. 따라서 각 점은 다른 점들과 완전히 분리되어 있으며, 서로 간의 연속성이나 근접성은 전혀 없다.

쉽게 말해, 이산 위상에서는 모든 점이 독립적으로 존재하며, 어떤 형태의 연결 관계도 설정되지 않는다.

이 위상이 "이산적(discrete)"이라 불리는 이유는 명확하다. X의 각 원소를 독립된 개체로 간주하기 때문이다. 이 안에서는 원소 간의 거리나 관계가 정의되지 않으며, 모든 구성이 허용된다.

이산 위상은 집합 X 위에서 정의될 수 있는 가장 큰 위상이다. 이미 모든 부분집합을 열린 집합으로 포함하고 있기 때문에, 그보다 더 큰 위상은 존재하지 않는다.

참고. 위상은 공간의 원소들이 "가깝다"거나 "연결되어 있다"는 개념을 다루기 위한 수학적 구조다. 이 틀을 통해 우리는 연속성의 개념을 논할 수 있다.

이산 위상의 특징

이산 위상에서 가장 중요한 성질은 다음과 같다.

이산 위상에서는 모든 부분집합이 동시에 열린 집합이자 닫힌 집합이다.

이 특성은 모든 부분집합을 열린 집합으로 간주하기 때문에 생긴다. 따라서 어떤 부분집합의 여집합도 열린 집합이며, 결과적으로 모든 부분집합이 닫힌 집합이 된다.

위상수학에서는 어떤 집합의 여집합이 열린 집합일 때 그 집합을 닫힌 집합이라 부른다. 이산 위상에서는 이 조건이 항상 성립한다.

따라서 이산 위상에서는 모든 부분집합이 "클로픈(clopen)", 즉 동시에 열린 집합이자 닫힌 집합이 된다. 이 성질은 개별 원소뿐 아니라 집합의 모든 부분집합에 대해 동일하게 적용된다.

참고. 각 점이 열린 집합으로 간주되고, 점들의 임의의 조합 역시 열린 집합이 된다. 또한 모든 부분집합의 여집합이 X의 부분집합이므로, 그것 역시 열린 집합이 되어 결과적으로 모든 부분집합이 닫힌 집합이 된다.

예시로 보는 이산 위상

이제 간단한 예를 통해 이산 위상이 어떻게 작동하는지 살펴보자. 세 개의 원소로 이루어진 유한 집합 X를 생각하자.

$$ X = \{a, b, c\} $$

X의 모든 부분집합으로 구성된 멱집합은 다음과 같다.

• 공집합: \(\emptyset\)
• 한 개의 원소를 포함하는 집합: \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\)
• 두 개의 원소를 포함하는 집합: \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\)
• 전체 집합: \(\{a, b, c\}\)

이산 위상에서는 X의 모든 가능한 부분집합이 열린 집합으로 간주된다. 따라서 X 위의 이산 위상 \(T\)는 다음과 같다.

$$ T = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} $$

즉, X의 모든 부분집합이 열린 집합이며, 그 중 어떤 것도 제외되지 않는다.

참고. 이 구조가 위상으로 인정되는 이유는 전체 집합 X와 공집합을 포함하고, 열린 집합들의 임의의 합집합과 교집합이 여전히 T에 속하기 때문이다. 따라서 이산 위상에서는 원소들 사이에 연속성이나 근접성에 대한 제약이 전혀 없다.

예를 들어, 부분집합 \( \{ a \} \)를 살펴보자. 이산 위상의 정의에 따르면 \( \{ a \} \)는 열린 집합이다. 동시에 그 여집합 \( X / \{a\} = \{b, c\} \) 역시 열린 집합이므로, \( \{ a \} \)는 닫힌 집합이기도 하다.

이로부터 이산 위상에서는 모든 부분집합이 열린 동시에 닫힌 집합임을 알 수 있다.

이 성질은 X의 어떤 부분집합을 선택하더라도 동일하게 적용된다. 이산 위상에서는 항상 같은 논리가 유지된다.