폐포 연산의 단조성

위상수학에서 폐포 연산의 단조성이란, 두 집합 \( A \)와 \( B \)가 닫힌 집합일 필요는 없으며 \( A \subseteq B \)일 때, \( A \)의 폐포가 항상 \( B \)의 폐포에 포함된다는 성질을 말한다. 즉 다음의 포함 관계가 성립한다. \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

이 성질은 폐포의 정의를 떠올리면 매우 자연스럽게 이해할 수 있다.

직관적인 비유로 설명하면 다음과 같다. 작은 상자를 닫은 뒤 그것을 더 큰 상자 안에 넣고 큰 상자를 닫으면, 작은 상자는 여전히 큰 상자 안에 포함된 상태로 유지된다. 포함 관계는 폐포를 취한 뒤에도 그대로 보존된다.

구체적인 예

가장 익숙한 위상공간인 표준 위상을 갖는 실수 직선 \(\mathbb{R}\)에서 이 성질을 확인해 보자.

실수 직선의 표준 위상에서 열린 집합은 열린 구간들이다.

다음 두 집합을 고려하자.

\[ A = (0, 1) \]

\[ B = [0, 2] \]

\( A \)의 모든 원소는 \( B \)에 속하므로, \( A \subseteq B \)임은 분명하다.

\[ A \subseteq B \]

집합 \(A\)의 폐포

집합 \( A \)는 열린 구간 \( (0, 1) \)이다.

\( A \)의 폐포는 \( A \)에 그 모든 극한점을 포함시킨 집합으로 정의된다.

이 경우 극한점은 \( 0 \)과 \( 1 \)뿐이다. 실제로 \( 0 \)과 \( 1 \)의 임의의 근방은 항상 \( A \)의 점을 포함한다.

따라서 \( A \)의 폐포는 다음과 같다.

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

집합 \(B\)의 폐포

집합 \( B \)는 닫힌 구간 \([0, 2]\)이다.

\( B \)는 이미 닫힌 집합이며 모든 극한점을 포함하고 있으므로, 그 폐포는 자기 자신과 같다.

\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]

정리

\( \text{Cl}(A) = [0, 1] \), \( \text{Cl}(B) = [0, 2] \)이므로, 다음의 포함 관계가 성립함을 즉시 확인할 수 있다.

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

실제로 구간 \([0, 1]\)은 \([0, 2]\)의 부분집합이므로, 이 예는 폐포 연산의 단조성을 명확하게 보여 준다.

증명

이제 일반적인 경우에 대해 증명해 보자. 먼저 다음을 가정한다.

\[ A \subseteq B \]

보이고자 하는 것은 \( \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \)이다.

\( A \subseteq B \)이므로, \( A \)의 모든 점은 자동으로 \( B \)의 점이기도 하다.

한 점 \( x \)가 \( \text{Cl}(A) \)에 속한다는 것은, \( x \)의 모든 근방이 \( A \)의 점을 적어도 하나 포함한다는 것과 동치이다. (만약 \( x \in A \)라면, \( x \) 자신과는 다른 점을 포함한다.)

\( A \subseteq B \)이기 때문에, \( A \)의 점을 포함하는 모든 근방은 동시에 \( B \)의 점도 포함하게 된다.

또한 집합 \( X \)의 폐포는 \( X \)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합으로 정의된다.

\( A \subseteq B \)이면, \( B \)를 포함하는 임의의 닫힌 집합은 반드시 \( A \)도 포함한다.

따라서 \( B \)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합은 \( A \)의 모든 극한점을 포함하게 된다.

결과적으로 \( A \)의 모든 점과 모든 극한점은 \( B \)의 폐포에 속하게 되며, 다음이 성립한다.

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

즉, 집합의 포함 관계는 폐포 연산을 취한 뒤에도 그대로 유지된다.

이로써 폐포 연산의 단조성이 증명된다.