집합의 내부의 교집합

위상공간에서 두 집합 \(A\)와 \(B\)에 대하여, 이들의 내부의 교집합은 두 집합의 교집합의 내부와 정확히 같다. 즉 다음의 관계가 항상 성립한다.   $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$

말하자면, 집합 \(A\)의 내부와 집합 \(B\)의 내부를 각각 생각한 뒤, 이 두 내부의 공통 부분만을 모으면 그것이 곧 집합 \(A \cap B\)의 내부가 된다.

이 성질은 위상수학에서 내부 연산이 교집합과 어떻게 상호작용하는지를 보여 주는 기본적인 결과로, 이후의 여러 정리들을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

이를 이해하기 위해서는 다음 두 가지 개념을 분명히 알고 있어야 한다.

• 집합의 내부 (\(\text{Int}(A)\)): 집합 \(A\)에 속하는 점들 가운데, 그 점을 중심으로 하는 어떤 열린 근방이 전부 \(A\) 안에 포함되는 점들의 집합이다. 이러한 점을 \(A\)의 내부점이라고 부른다.
• 교집합 (\(\cap\)): 두 집합 \(A\)와 \(B\)에 동시에 속하는 모든 점들로 이루어진 집합이다.

따라서 \(\text{Int}(A)\)와 \(\text{Int}(B)\)를 각각 구한 뒤 이 둘의 교집합을 취하면, 그 결과는 언제나 \(\text{Int}(A \cap B)\)와 일치한다.

구체적인 예

서로 일부가 겹치는 두 개의 원 \(A\)와 \(B\)를 떠올려 보자.

집합 \(A\)의 내부는 원의 경계를 제외한 전체 영역이며, 집합 \(B\)의 내부도 같은 방식으로 정의된다.

이 두 내부 영역의 교집합을 취하면, 원 \(A\)와 \(B\)가 겹치는 부분 가운데 경계를 제외한 영역만이 남게 되는데, 이것이 바로 \(A \cap B\)의 내부이다.

증명

이제 위의 명제가 왜 성립하는지를 살펴보자. 증명은 두 방향의 포함 관계를 보이는 방식으로 이루어진다.

1] 첫 번째 포함 관계 (\(\subseteq\))

어떤 점이 집합 \(A\)의 내부에 속하고 동시에 집합 \(B\)의 내부에 속한다고 하자. 그러면 그 점을 포함하는 열린 근방이 \(A\) 안에도, \(B\) 안에도 완전히 포함된다.

이 두 열린 근방의 교집합 역시 열린 집합이며, 해당 점을 포함하고 동시에 \(A \cap B\) 안에 포함된다. 따라서 그 점은 \(A \cap B\)의 내부에 속한다.

2] 두 번째 포함 관계 (\(\supseteq\))

이번에는 반대로, 어떤 점이 \(A \cap B\)의 내부에 속한다고 가정하자. 그러면 그 점을 포함하는 열린 근방이 전부 \(A \cap B\) 안에 포함된다.

이는 그 열린 근방이 동시에 \(A\) 안에도, \(B\) 안에도 포함됨을 의미하므로, 해당 점은 \(A\)와 \(B\) 각각의 내부에 속하게 된다.

두 방향의 포함 관계가 모두 성립하므로, 다음의 등식이 최종적으로 얻어진다.

\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]

이로써 증명이 완성된다.

이하 동일하다.