닫힌 집합에 대한 폐포의 포함 성질

위상공간 \( X \)에서 \( C \)가 닫힌 집합이고 \( A \)가 \( C \)에 포함되어 있다고 하자. 이때 \( A \)의 폐포를 \( \text{Cl}(A) \)로 나타내면, \( \text{Cl}(A) \)는 항상 \( C \)의 부분집합이 된다.   $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ is closed } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

이 성질은 폐포의 정의에서 자연스럽게 따라온다. 폐포란 어떤 집합을 포함하는 닫힌 집합들 가운데 가장 작은 집합이다. 이미 \( C \)는 닫힌 집합이며 \( A \)를 포함하고 있으므로, 그보다 더 큰 범위로 폐포가 확장될 수는 없다.

즉, \( A \)가 닫힌 집합 \( C \) 안에 들어 있다면, 그 폐포 역시 반드시 \( C \) 안에 머물게 된다.

구체적인 예

이 성질을 이해하기 위해, 표준 위상을 갖는 실수 전체의 집합 \( X = \mathbb{R} \)을 생각해 보자.

표준 위상에서 열린 집합은 열린 구간들로 주어진다.

예를 들어, 다음과 같은 닫힌 집합을 취하자.

$$ C = [0,2] $$

이제 \( C \)에 포함된 부분집합으로 열린 집합 \( A = (0,1) \)을 선택한다.

$$ A = (0,1) $$

이제 \( A \)의 폐포를 구해 보자.

\(\operatorname{Cl}(A)\)는 \(\mathbb{R}\)에서 \( A \)를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이므로, 열린 구간 \((0,1)\)에 그 경계점인 0과 1을 더한 집합이 된다.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

한편, 처음에 선택한 닫힌 집합 \( C \)는 다음과 같다.

$$ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $$

따라서 폐포 역시 \( C \)에 포함되어야 한다.

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

실제로 \(\operatorname{Cl}(A) = [0,1]\)이고, 이는 명백히 \([0,2]\)의 부분집합이다.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

이 예를 통해, 닫힌 집합 \( C \)에 포함된 집합 \( A \)의 폐포가 결코 \( C \)를 벗어나지 않는다는 사실을 직관적으로 확인할 수 있다.

증명

\( C \)가 \( X \)에서 닫힌 집합이라는 것은, 그 여집합 \( X \setminus C \)가 열린 집합임을 의미한다.

가정에 따라 \( A \subseteq C \)이다.

정의에 의해, \( A \)의 폐포 \(\operatorname{Cl}(A)\)는 \( A \)를 포함하는 모든 닫힌 집합들의 교집합이다.

그런데 \( C \)는 닫힌 집합이면서 동시에 \( A \)를 포함하므로, 이 교집합을 구성하는 집합들 가운데 하나에 해당한다.

따라서 모든 이러한 닫힌 집합들의 교집합인 \(\operatorname{Cl}(A)\)는 반드시 \( C \)에 포함된다.

결론적으로 다음이 성립한다.

$$ \operatorname{Cl}((A) \subseteq C $$

요약하면, 닫힌 집합 \( C \)가 \( A \)를 포함하고 있고, 폐포가 \( A \)를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이라는 정의에 의해, \( A \)의 폐포는 필연적으로 \( C \)의 부분집합이 된다.