집합의 내부와 열린 집합의 포함 관계

위상공간 $ X $에서 $ U $가 열린 집합이고 $ U \subseteq A $라면, $ U $는 집합 $ A $의 내부에 포함된다. $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

집합 $ A $의 내부 $\text{Int}(A)$는 $ A $에 포함되는 열린 집합들 가운데 가장 큰 열린 집합을 의미한다. 내부는 집합의 "속살"에 해당하는 부분으로, 경계에 해당하는 점들은 제외된다.

이 정의에 따라, 집합 $ A $ 안에 들어 있는 모든 열린 집합 $ U $는 자연스럽게 $ A $의 내부 $\text{Int}(A)$에 포함된다.

내부는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ is open in } X \} $$

즉, $ A $에 포함된 모든 열린 집합들을 모아 합집합을 취한 것이 바로 $ A $의 내부이다. 처음 가정에 의해 $ U $ 역시 이러한 열린 집합들 가운데 하나에 해당한다.

구체적인 예

표준 위상을 갖는 실수 집합 $ \mathbb{R} $에서 두 집합 $ U $와 $ A $를 생각해 보자. 이 경우 열린 집합은 열린 구간과 그 임의의 합집합으로 이루어진다.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

집합 $ U = (1, 2) $는 실수축에서의 열린 구간이므로, 표준 위상에서 열린 집합이다.

또한 $ U = (1, 2) \subseteq A = [0, 3] $이므로, $ U $에 속하는 모든 점은 $ A $에도 속한다. 따라서 $ U \subseteq A $가 성립한다.

집합 $ A = [0, 3] $의 내부 $\text{Int}(A)$는, $ A $에 포함되는 열린 집합들 가운데 가장 큰 열린 집합이다.

이 경우 내부는 $(0, 3)$이다. 열린 구간 $(0, 3)$은 $[0, 3]$에 포함되면서도, 그보다 더 큰 열린 집합은 존재하지 않는다.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

이제 $ U = (1, 2) $와 $\text{Int}(A) = (0, 3)$을 비교해 보면, $ U $가 $ A $의 내부에 완전히 포함되어 있음을 바로 확인할 수 있다.

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

이 예는 $ U $가 열린 집합이고 동시에 $ A $의 부분집합일 때, $ U $가 반드시 $ A $의 내부에 포함된다는 사실을 직관적으로 보여준다.

$ X $를 위상공간이라 하고, $ U $를 $ X $의 열린 집합, $ A \subseteq X $를 $ U \subseteq A $를 만족하는 집합이라 하자.

가정에 의해 다음 두 조건이 성립한다.

내부의 정의에 따르면, $ \text{Int}(A) $는 집합 $ A $에 포함되는 모든 열린 집합들의 합집합으로 정의된다.

$ U $는 열린 집합이면서 $ A $에 포함되어 있으므로, 이 합집합을 구성하는 열린 집합들 중 하나이다.

따라서 정의에 의해 $ U $는 $ \text{Int}(A) $에 포함되며, 곧 $ U \subseteq \text{Int}(A) $가 성립한다.

결론적으로, 위상공간 $ X $에서 열린 집합 $ U $가 어떤 집합 $ A $에 포함되어 있다면, $ U $는 항상 $ A $의 내부에 포함된다.

이로써 명제가 증명되었다.