열린 집합의 내부에 의한 특징화

위상공간 $ X $에서 집합 $ A $는 그 내부와 일치할 때 그리고 그 경우에만 열린 집합이다. $$ A = \text{Int}(A) $$

이는 열린 집합의 개념을 이해하는 데 매우 중요한 성질이다. 직관적으로 말하면, 집합 $ A $가 열린 집합이라는 것은 그 안에 있는 모든 점이 "충분히 안쪽"에 위치해 있다는 뜻이다.

보다 정확히는, $ A $의 모든 점이 $ A $에 완전히 포함되는 어떤 열린 이웃을 가진다는 것을 의미한다.

집합의 내부 Int(A)는 $ A $에 포함된 열린 집합들 가운데 가장 큰 열린 집합으로 정의된다. 다시 말해, $ A $ 안에 들어 있는 모든 열린 집합을 전부 모아 만든 합집합이 바로 Int(A)이다.

구체적인 예로 살펴보기

표준 위상을 갖는 실수 공간 $ \mathbb{R} $를 생각해 보자. 이 공간에서는 모든 열린 구간이 열린 집합이다.

아래의 예제들을 통해 조건 $ A = \text{Int}(A) $가 실제로 어떻게 작동하는지 확인해 보자.

예제 1

열린 구간 $ A = (0, 1) $을 고려하자.

$$ A = (0, 1) $$

이 집합의 내부는 경계점을 제외한 동일한 구간이다.

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

집합 $ A $와 그 내부가 서로 같으므로, 이 집합은 열린 집합임을 즉시 알 수 있다.

예제 2

이번에는 닫힌 구간 $ B = [0,1] $을 살펴보자.

$$ B = [0, 1] $$

이 집합의 내부는 양 끝점 0과 1을 제외한 열린 구간이다.

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

이 경우 집합 $ B $는 자신의 내부와 일치하지 않으므로, 열린 집합이 아니다. 경계점이 포함되어 있다는 사실이 결정적인 차이를 만든다.

참고: 이러한 예제들은 내부의 정의만으로도 주어진 집합이 열린 집합인지 아닌지를 효과적으로 판별할 수 있음을 보여준다.

이제 왜 $ A = \text{Int}(A) $가 열린 집합의 필요충분조건이 되는지 간단히 살펴보자.

$ A $가 열린 집합이라고 하자.

열린 집합의 정의에 따라, $ A $의 모든 점은 $ A $에 포함되는 열린 이웃을 가진다. 따라서 $ A $에 속하는 모든 점은 내부의 정의를 만족한다.

이로부터 다음이 성립한다.

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

반대로, 내부는 정의상 $ A $ 안에 들어 있는 열린 집합들의 합집합이므로 항상

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

가 성립한다. 두 포함 관계를 합치면

$$ A = \text{Int}(A) $$

를 얻는다.

이제 $ A = \text{Int}(A) $라고 가정하자.

임의의 점 $ x \in A $를 잡으면, $ x $는 내부에 속하므로 $ A $에 포함되는 어떤 열린 이웃을 가진다.

이는 모든 점이 열린 이웃을 가진다는 뜻이므로, $ A $는 정의에 따라 열린 집합이다.

결론적으로, 위상공간 $ X $에서 집합 $ A $는 자기 자신의 내부와 일치할 때 그리고 그 경우에만 열린 집합이다.

이 특징화는 열린 집합의 개념을 보다 구조적으로 이해하게 해 주며, 많은 위상학적 논의의 출발점으로 활용된다.