여집합의 폐포와 내부의 여집합
집합 A의 여집합의 폐포는 A의 내부의 여집합과 같다. 다시 말해 다음이 항상 성립한다. $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
이 관계는 위상공간에서 여집합을 기준으로 볼 때, 폐포와 내부라는 두 개념이 서로 깊이 연결되어 있음을 보여준다. 특히 이 성질은 위상수학의 기본 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.
구체적인 예
표준 위상을 갖는 실수 집합 \( X = \mathbb{R} \)을 생각해 보자. 이 경우 열린 집합은 열린 구간들과 그들의 합집합으로 이루어진다.
이제 부분집합 \( A \subseteq X = \mathbb{R} \)로 닫힌 구간 \( A = [1, 2] \)를 선택하자.
이 성질을 확인하기 위해 다음 두 단계를 차례로 살펴본다. 먼저 A의 여집합의 폐포를 구하고, 이어서 A의 내부의 여집합을 계산한다.
1] A의 여집합의 폐포
\( \mathbb{R} \)에서 A의 여집합은 다음과 같다.
$$ X - A = \mathbb{R} - [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
이제 이 집합의 폐포를 구해 보자. 폐포란 해당 집합에 그 모든 극한점을 포함시킨 것이다.
집합 \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \)는 열린 집합들의 합집합이며, 점 1과 2는 각각 그 극한점이다. 실제로 1의 임의의 근방에는 항상 \( (-\infty, 1) \)에 속하는 점이 존재하고, 2의 임의의 근방에는 항상 \( (2, \infty) \)에 속하는 점이 존재한다.
따라서 A의 여집합의 폐포는 다음과 같이 주어진다.
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] A의 내부의 여집합
집합 \( A = [1, 2] \)의 내부는 그 안에 완전히 포함된 열린 구간이다. 따라서
$$ \text{Int}(A) = (1, 2) $$
A의 내부의 여집합은 다음과 같이 계산된다.
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] 결론
A의 여집합의 폐포와 A의 내부의 여집합은 정확히 같은 집합임을 알 수 있다.
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
따라서 다음의 등식이 성립한다.
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
증명
이제 위의 결과를 일반적인 상황에서 증명해 보자. 위상공간 \( X \)에서 부분집합 \( A \subseteq X \)를 고정한다.
A의 여집합의 폐포는 A에 속하지 않는 모든 점들과 그 극한점들로 이루어진 집합이다.
$$ \text{Cl}(X - A) $$
한편, A의 내부의 여집합은 A의 내부에 포함되지 않는 모든 점들의 집합이다.
$$ X - \text{Int}(A) $$
이제 \( \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) \)임을 보이기 위해 두 포함관계를 차례로 증명한다.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
어떤 점 x가 \( \text{Cl}(X - A) \)에 속한다고 하자. 그러면 x의 임의의 근방은 반드시 \( X - A \)에 속하는 점을 하나 이상 포함한다. 이는 x가 A의 내부점일 수 없음을 의미한다. 만약 x가 A의 내부점이라면, x를 포함하는 어떤 근방도 전부 A에 포함되어야 하기 때문이다. 따라서 x는 \( \text{Int}(A) \)에 속하지 않으며, 결국 \( X - \text{Int}(A) \)에 속한다. - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
어떤 점 x가 \( X - \text{Int}(A) \)에 속한다고 하자. 이는 x가 A의 내부점이 아님을 뜻한다. 따라서 x의 임의의 근방에는 반드시 A에 속하지 않는 점, 즉 \( X - A \)에 속하는 점이 존재한다. 그러므로 x는 \( X - A \)의 폐포에 속한다.
이로써 다음 등식이 성립함을 확인할 수 있다.
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
이 결과는 위상공간에서 여집합을 중심으로 볼 때, 폐포와 내부가 서로 대칭적인 역할을 한다는 사실을 분명하게 보여준다.
이와 같은 관점은 위상수학의 여러 개념을 이해하는 데에도 유용하게 활용될 수 있다.
