閉集合の特徴付け

集合 $ A $ は、位相空間においてその閉包が $ A $ 自身と一致するとき、かつそのときに限り閉集合である。言い換えると、次の等式が成り立つ場合に限って $ A $ は閉集合である。$$ A = \text{Cl}(A) $$

具体例

標準位相を備えた実数全体の集合 $ \mathbb{R} $ を考え、その部分集合として $ A = [0, 1] $ を取り上げる。

位相空間において集合が閉であるとは、その集合がすべての極限点を含んでいることを意味する。区間 $ A = [0, 1] $ の極限点は、端点 $ 0 $ と $ 1 $ を含め、$ 0 $ から $ 1 $ の間にあるすべての点である。

この区間は、それらの点をすべて含んでいるため、$ A $ は閉集合である。

では、閉包の定義を用いて同じ結論が得られるかを確認してみよう。

標準位相における $ A $ の閉包は集合自身であり、$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$ となる。これは、区間 $ [0, 1] $ がそのすべての極限点をすでに含んでいるからである。

したがって、$$ A = \text{Cl}(A) $$ が成り立つ。

この具体例から、集合 $ A = [0, 1] $ は閉包と一致することによって閉集合であることが確認できる。

同時に、「集合 $ A $ が閉集合であること」と「$ A = \text{Cl}(A) $ が成り立つこと」が同値であるという一般的な事実も直感的に理解できる。

ここでは、この性質が常に成り立つことを理論的に示す。

閉包の定義：集合 $ A $ の閉包 $ \text{Cl}(A) $ とは、$ A $ のすべての点に加え、$ A $ の極限点をすべて含む集合である。形式的には次のように定義される。 \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{ x \in X \mid x の任意の近傍が A の点を含む \} \]
閉集合の定義：集合 $ A $ は、そのすべての極限点を含むとき閉集合と呼ばれる。

これらの定義を用いて、次の二つの方向の主張を示す。

$ A $ が閉集合であると仮定すると、定義より $ A $ はすべての極限点を含んでいる。

そのため、$ A $ の極限点であって $ A $ に含まれないものは存在しない。

閉包は「集合自身とその極限点の和集合」として定義されるので、次が成り立つ。

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ A の極限点 \} = A $$

よって、$ A = \text{Cl}(A) $ が従う。

逆に、$ A = \text{Cl}(A) $ が成り立つと仮定する。

このとき、閉包 $ \text{Cl}(A) $ には $ A $ のすべての極限点が含まれているため、それと一致する集合 $ A $ もまた、すべての極限点を含んでいることになる。

したがって定義により、$ A $ は閉集合である。