内部と閉包の補対的関係
位相空間論では、集合の内部と閉包のあいだに、非常に基本的で美しい関係が成り立つ。 それは、ある集合 \( A \) の補集合の内部が、\( A \) の閉包の補集合に一致するという事実である。
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
この関係は一見すると抽象的に見えるが、具体例を通して見ると、その意味は直感的に理解できる。
具体例で理解する
例として、標準位相をもつ実数直線 \(\mathbb{R}\) を考える。 この位相では、開集合はすべて開区間として与えられる。
次の閉区間を集合 \( A \) とする。
$$ A = [0, 1] $$
まず、\( A \) の補集合を考える。
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
この集合は、すでに開区間の和として表されているため、開集合である。 したがって、その内部は集合自身に等しい。
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
一方、集合 \( A \) の閉包を考える。 閉包とは、集合とその集積点をすべて含む最小の閉集合である。
しかし、\( A = [0,1] \) はもともと閉集合なので、閉包を取っても変わらない。
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
したがって、その補集合は次のようになる。
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
ここで得られた二つの集合を比べると、完全に一致していることが分かる。
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
この具体例から、補集合を介して内部と閉包が互いに対応している様子が、直感的に確認できる。
一般の場合の証明
次に、一般の位相空間 \( X \) と、その部分集合 \( A \subseteq X \) を考える。
示したいのは、次の等式である。
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
この等式は、二つの包含関係を順に示すことで証明できる。
\(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
\( X - A \) の内部に属する点 \( x \) を取る。
$$ x \in \text{Int}(X - A) $$
定義より、\( x \) にはある近傍 \( U \) が存在して、
$$ U \subseteq X - A $$
が成り立つ。これは、
$$ U \cap A = \emptyset $$
を意味する。
したがって、\( x \) の少なくとも一つの近傍は \( A \) と交わらない。 このことから、\( x \) は \( A \) の集積点ではないと分かる。
よって、\( x \notin \text{Cl}(A) \)、すなわち
$$ x \in X - \text{Cl}(A) $$
である。
\(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
次に、\( X - \text{Cl}(A) \) に属する点 \( x \) を取る。
$$ x \in X - \text{Cl}(A) $$
これは、\( x \) が \( A \) の閉包に含まれないことを意味する。
閉包の定義より、ある近傍 \( U \) が存在して、
$$ U \cap A = \emptyset $$
が成り立つ。
したがって、
$$ U \subseteq X - A $$
であり、\( x \) は \( X - A \) の内点である。
つまり、
$$ x \in \text{Int}(X - A) $$
が従う。
まとめ
以上より、次の二つの包含関係が成り立つ。
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
したがって、両者は等しく、
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
という結論が得られる。
この結果は、位相空間論において内部・閉包・補集合という三つの基本概念が、どのように密接に結びついているかを示す代表的な例である。
