閉集合に含まれる集合の閉包の性質

位相空間 $ X $ において，$ C $ を閉集合とし，集合 $ A $ が $ C $ に含まれているとする。このとき，$ A $ の閉包を $ \text{Cl}(A) $ と書けば，その閉包は必ず $ C $ の部分集合となる。 $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ is closed } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

この性質は，閉包の定義を理解すれば直感的に把握できる。閉包とは，「与えられた集合を含む最小の閉集合」のことである。すでに $ C $ は閉集合であり，かつ $ A $ を含んでいるため，$ A $ を含む最小の閉集合である $ \text{Cl}(A) $ も，自然に $ C $ の内部に収まることになる。

したがって，$ \text{Cl}(A) $ が $ C $ の外側に広がることは起こらない。

具体例
証明

具体例

理解を深めるために，標準位相を備えた実数全体の集合 $ X = \mathbb{R} $ を考えよう。

標準位相では，開集合は開区間として表される。

ここで，閉集合の例として $ C = [0, 2] $ を取る。この集合は $\mathbb{R}$ において閉集合である。

$$ C = [0,2] $$

次に，この $ C $ に含まれる部分集合として，開集合 $ A = (0, 1) $ を選ぶ。

$$ A = (0,1) $$

では，集合 $ A $ の閉包を求めてみよう。

$ A $ の閉包 $\operatorname{Cl}(A)$ とは，$\mathbb{R}$ において $ A $ を含む最小の閉集合である。

この場合，$(0, 1)$ の閉包は $[0, 1]$ となる。これは，$(0, 1)$ のすべての点に加えて，その集積点である 0 と 1 を含む最小の閉集合が $[0, 1]$ だからである。

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

ここで，もとの集合 $ A $ は閉集合 $ C $ に含まれている。

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

この性質から，閉包 $\operatorname{Cl}(A)$ もまた $ C $ に含まれるはずである。

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

実際に，$\operatorname{Cl}(A) = [0, 1]$ であり，$[0, 1] \subseteq [0, 2]$ が成り立つことは一目で確認できる。

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

このように，$(0, 1) \subseteq [0, 2]$ であり，その閉包 $\operatorname{Cl}((0, 1)) = [0, 1]$ は確かに $[0, 2]$ の部分集合となっている。

この具体例は，位相空間 $ X $ において，集合 $ A $ が閉集合 $ C $ に含まれているならば，その閉包も必ず $ C $ に含まれるという一般的な性質を分かりやすく示している。

証明

定義により，$ C $ が $ X $ の閉集合であることは，その補集合 $ X \setminus C $ が $ X $ において開集合であることを意味する。

また，仮定より $ A \subseteq C $ が成り立っている。

$ A $ の閉包 $\operatorname{Cl}(A)$ は，$ X $ において $ A $ を含む最小の閉集合として定義される。

言い換えれば，$\operatorname{Cl}(A)$ は，$ A $ を含むすべての閉集合の共通部分である。

$ C $ は閉集合であり，かつ $ A $ を含んでいるので，$ C $ は「$ A $ を含む閉集合全体」の中の一つである。

したがって，それらすべての閉集合の共通部分として定義される $\operatorname{Cl}(A)$ は，その一つである $ C $ に必ず含まれる。

以上より，次の結論が得られる。

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

要するに，$ C $ が閉集合であり $ A $ を含んでいる以上，$ A $ を含む最小の閉集合である $\operatorname{Cl}(A)$ が $ C $ の内部に収まるのは必然である。

以下同様である。