開集合の内部への包含

位相空間 $ X $ において、集合 $ U $ が開集合であり、かつ $ U \subseteq A $ が成り立つとする。このとき、$ U $ は集合 $ A $ の内部に含まれる。すなわち、$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$ が成立する。

ここで、集合 $ A $ の内部 $\text{Int}(A)$ とは、$ A $ に含まれる開集合をすべて集め、その中で最も大きいものを指す。

この定義を踏まえると、$ A $ の中に含まれる任意の開集合 $ U $ は、自動的に内部 $\text{Int}(A)$ に含まれることが分かる。

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ is open in } X \} $$

初めの仮定により、集合 $ U $ は開集合であり、かつ $ A $ に含まれている。そのため、上の式で表される開集合の集まりの一部として、自然に内部に含まれる。

具体例で確認する

標準位相を備えた実数全体の集合 $ \mathbb{R} $ を考える。ここでは、開集合とは開区間やそれらの任意の和集合である。

次の二つの集合を取る。

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

集合 $ U = (1, 2) $ は開区間であるため、$\mathbb{R}$ の標準位相において開集合である。

また、区間の包含関係から明らかなように、$ U = (1, 2) \subseteq A = [0, 3] $ が成り立つ。つまり、$ U $ のすべての点は集合 $ A $ に含まれている。

次に、集合 $ A = [0, 3] $ の内部を考える。内部とは、$ A $ に含まれる最大の開集合である。

この場合、$[0, 3]$ に含まれる最大の開区間は $(0, 3)$ である。

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

ここで、$ U = (1, 2) $ は $(0, 3)$ の部分集合であるため、次が直ちに分かる。

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

この具体例から、開集合 $ U $ が集合 $ A $ に含まれていれば、必ず $ A $ の内部にも含まれることが直感的に理解できる。

一般に、$ X $ を位相空間、$ U $ を $ X $ の開集合、$ A \subseteq X $ を部分集合とし、$ U \subseteq A $ が成り立つと仮定する。

このとき、次の二点が前提となる。

内部の定義によれば、$\text{Int}(A)$ は、集合 $ A $ に含まれるすべての開集合の和集合として定まる。

$ U $ は開集合であり、かつ $ A $ に含まれているため、この和集合を構成する集合の一つである。

したがって、内部 $\text{Int}(A)$ はそれらすべての開集合をまとめたものである以上、$ U $ がその中に含まれることは必然である。

以上より、$ U $ が位相空間 $ X $ における開集合であり、$ U \subseteq A $ が成り立つならば、必ず $ U \subseteq \text{Int}(A) $ が成り立つことが分かる。

以下同様である。