開集合の内部による特徴付け

位相空間 $ X $ における集合 $ A $ は、その内部と一致するときに限り、開集合である。すなわち $$ A = \text{Int}(A) $$ が成り立つ。

この条件は、開集合の本質を非常に分かりやすく表している。実際、集合 $ A $ が開であるとは、$ A $ に属するすべての点が、完全に $ A $ の中に収まる開近傍をもつことにほかならない。

したがって、「$ A $ が開集合であること」と「$ A $ が自分自身の内部と一致すること」は同値である。この見方により、開集合を内部という概念から自然に理解できる。

集合の内部 Int(A) とは、$ A $ に含まれる開集合のうち最大のものであり、$ A $ に含まれるすべての開集合の和集合として定義される。

具体例で理解する

標準位相を備えた実数直線 $ \mathbb{R} $ を考えよう。この位相では、開区間が基本的な開集合として現れる。

以下では、特徴付け $ A = \text{Int}(A) $ を用いて、集合が開であるかどうかを具体的に確認する。

例1

開区間 $$ A = (0, 1) $$ を考える。

この集合の内部は、定義から明らかに次のようになる。

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

集合 $ A $ はその内部と完全に一致している。したがって、$ A $ は開集合である。

例2

次に、閉区間 $$ B = [0,1] $$ を考える。

この場合、端点 0 と 1 には、集合 $ B $ に含まれる開近傍が存在しない。そのため、内部は次のようになる。

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

集合 $ B $ はその内部と一致しないため、$ B $ は開集合ではない。

注：このように、内部を計算して元の集合と比較することで、集合が開であるかどうかを直感的に判定できる。

ここでは、なぜこの特徴付けが成り立つのかを簡潔に確認する。

$ A $ が開集合であると仮定する。このとき、任意の点 $ x \in A $ は、$ A $ に含まれる開近傍をもつ。

したがって、すべての点 $ x \in A $ は内部の定義を満たし、$\text{Int}(A)$ に含まれる。

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

一方、内部は $ A $ に含まれる開集合の和集合として定義されているため、常に

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

が成り立つ。以上から、両者は一致する。

次に $ A = \text{Int}(A) $ を仮定する。

任意の点 $ x \in A $ は $ \text{Int}(A) $ に属するため、定義により $ A $ に含まれる開近傍をもつ。

よって、$ A $ のすべての点は開近傍をもち、$ A $ は開集合である。

以上より、位相空間において集合 $ A $ が開集合であることと、その内部が $ A $ 自身と一致することは同値である。

この特徴付けは、開集合を理解し、判定するうえで極めて基本的かつ有用な視点を与えてくれる。