補集合の閉包と内部の補集合

集合 A の補集合の閉包は、集合 A の内部の補集合と一致する。すなわち $$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) = X \setminus \mathrm{Int}(A) $$ が成り立つ。

この関係は、位相空間において「補集合」という操作を通して見ると、閉包と内部が互いに深く結びついた概念であることを示している。

具体例

標準位相を備えた実数全体の集合 $ X = \mathbb{R} $ を考える。ここで、開集合とは開区間およびそれらの和集合である。

例として、集合 $ A = [1, 2] \subseteq \mathbb{R} $ を取り上げる。

この性質を具体的に確認するため、次の二つの段階に分けて考えてみよう。

まず、$ \mathbb{R} $ における A の補集合は次のように表される。

$$ X \setminus A = \mathbb{R} \setminus [1, 2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$

この集合の閉包を求めるには、そこに含まれる点だけでなく、その集積点も考慮する必要がある。

ここでは、1 と 2 が集積点にあたる。実際、1 の任意の近傍には必ず $ (-\infty, 1) $ の点が含まれ、同様に 2 の任意の近傍には $ (2, \infty) $ の点が含まれる。

したがって、補集合の閉包は次のようになる。

$$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) = \mathrm{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

集合 $ A = [1, 2] $ の内部は、その内部点全体からなる開集合であり、次のように表される。

$$ \mathrm{Int}(A) = (1, 2) $$

したがって、A の内部の補集合は次のようになる。

$$ X \setminus \mathrm{Int}(A) = \mathbb{R} \setminus (1, 2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

以上から分かるように、A の補集合の閉包と、A の内部の補集合は同じ集合を与える。

$$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

$$ X \setminus \mathrm{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$

したがって、次の等式が成り立つ。

$$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) = X \setminus \mathrm{Int}(A) $$

位相空間 X における部分集合 $ A \subseteq X $ を考える。

A の補集合の閉包とは、A に属さない点と、そのすべての集積点からなる集合である。

$$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) $$

一方、A の内部の補集合とは、A の内部に含まれないすべての点の集合である。

$$ X \setminus \mathrm{Int}(A) $$

$\mathrm{Cl}(X \setminus A) = X \setminus \mathrm{Int}(A)$ を示すため、次の二つの包含関係を確認する。

$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) \subseteq X \setminus \mathrm{Int}(A) $
点 x が $ \mathrm{Cl}(X \setminus A) $ に属するとする。このとき、x の任意の近傍には必ず $ X \setminus A $ の点が含まれる。もし x が A の内部点であれば、その近傍はすべて A に含まれるはずであり、これは矛盾である。したがって x は A の内部には属さず、$ X \setminus \mathrm{Int}(A) $ に属する。
$ X \setminus \mathrm{Int}(A) \subseteq \mathrm{Cl}(X \setminus A) $
点 x が $ X \setminus \mathrm{Int}(A) $ に属するとする。このとき x は A の内部点ではない。したがって、x の任意の近傍には A に属さない点、すなわち $ X \setminus A $ の点が少なくとも一つ含まれる。よって x は $ X \setminus A $ の閉包に属する。

以上より、次の等式が成り立つ。

$$ \mathrm{Cl}(X \setminus A) = X \setminus \mathrm{Int}(A) $$

この結果は、集合の補集合に関して、閉包と内部という二つの操作が互いに双対的な関係にあることを明確に示している。

以下同様。