R’de Bir Kümenin İçinin Belirlenmesi

Standart topoloji bağlamında bir kümenin içini belirlemek, R programlama diliyle oldukça anlaşılır bir şekilde gösterilebilir. Bu tür bir yaklaşım, hem kavramı somutlaştırmak hem de hesaplamaların mantığını adım adım görmek isteyenler için son derece yararlıdır.

İlk adımda A ve B olmak üzere iki açık aralık tanımlıyoruz.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Bu iki aralık, reel doğruda sıkça karşılaşılan temel açık aralık örnekleridir.

A kümesi (1,3) açık aralığını temsil eder.

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

B kümesi ise (0,4) aralığına karşılık gelir.

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

Şimdi bu aralıkların içini hesaplayacak küçük bir fonksiyon tanımlayalım. Topolojide bir kümenin içi, kümenin bütünüyle içinde kalan tüm açık alt kümelerin birleşiminden oluşur. Bu birleşim, aynı zamanda kümenin içerdiği en büyük açık alt kümeyi verir.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Tanımladığımız bu fonksiyonu kullanarak A ve B aralıklarının içlerini hesaplayabiliriz.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Şimdi sonuçların nasıl göründüğüne bakalım.

A kümesinin (1,3) içi, tanım gereği yine (1,3) açık aralığıdır. Fonksiyonumuz, uç noktaları sembolik olarak biraz içeriden alarak bu durumu sayısal olarak gösterir.

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

B kümesinin (0,4) içi de aynı ilkeyi izler ve (0,4) açık aralığı olarak belirir.

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

Küme içleriyle ilgili temel topolojik ilkeye göre A, B’nin alt kümesiyse A’nın içi de B’nin içinin alt kümesidir. Bu, topolojide sıkça başvurulan önemli bir kapsama ilişkisidir.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \mathrm{Int}(A) \subseteq \mathrm{Int}(B) $$

Bu ilişkiyi R’da kolayca doğrulayabiliriz.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

Çıktı, A kümesinin içinin gerçekten de B kümesinin içi içinde yer aldığını net biçimde ortaya koyuyor. Bu örnek, topolojik kavramların programlama ortamında nasıl somutlaştırılabileceğini görmek isteyenler için güçlü bir başlangıç sunar.