Topolojide İçlerin Kapsanması
Bir \( A \) kümesi \( B \) kümesinin altkümesi ise, o zaman \( A \) kümesinin içi de doğal olarak \( B \) kümesinin içinin içinde yer alır. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Bu ilişki, \( A \) kümesinin içinde bulunan her açık kümenin aynı zamanda \( B \) kümesinin içinde yer almasıyla ortaya çıkar. İç alma işlemi, küme kapsamasını bozmadan sürdüren düzenli bir topolojik operatördür.
Neden Önemlidir?
Bir kümenin içi, o kümenin gerçekten "açık" olan bölümünü temsil eder. Bu yüzden iç kavramı, topolojide temel bir yapı taşıdır. İki küme arasındaki kapsama ilişkisi bozulmadan içlerine de yansıyorsa, bu kavramların nasıl çalıştığını anlamak çok daha kolaylaşır.
Somut Bir Örnek
Standart topolojide \( \mathbb{R} \) uzayını ele alalım. İki küme tanımlayalım:
$$ A = [1, 3] $$
$$ B = [0, 4] $$
Bu iki küme arasında açık bir ilişki vardır:
$$ A \subseteq B $$
Şimdi içlerini bulalım. Standart topolojide bir kümenin içi, o kümenin kapsadığı tüm açık kümelerin birleşimidir.
- A'nın İçi
\( A = [1, 3] \) kümesinin içi, uç noktalar hariç kalan aralıktır:
\[ \text{Int}(A) = (1, 3) \] - B'nin İçi
\( B = [0, 4] \) kümesinin içi de benzer şekilde uç noktalar hariç olan aralıktır:
\[ \text{Int}(B) = (0, 4) \]
Bu iki iç küme karşılaştırıldığında, \( (1, 3) \) açık aralığının \( (0, 4) \) aralığının tamamen içinde yer aldığı hemen görülür.
$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Bu örnek, kapsama ilişkisinin iç kümelere de aynı şekilde aktığını açık bir biçimde gösterir.
İspatın Mantığı
Topolojik bir uzay \( X \) içinde \( A \subseteq B \) olsun. Gösterilmek istenen:
$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
\( \text{Int}(A) \), \( A \) kümesinin kapsadığı tüm açık kümelerin birleşimidir. Bu birleşim, \( A \) içinde bulunabilecek en büyük açık kümeyi oluşturur.
Ancak \( A \subseteq B \) olduğundan, \( A \) içindeki tüm açık kümeler otomatik olarak \( B \) kümesinin de altkümeleridir. Dolayısıyla bu açık kümelerin hepsi \( B \) içinde yer alır ve onların birleşimi olan \( \text{Int}(A) \) da \( B \) içinde bulunan bir açık küme olur.
Öte yandan, \( \text{Int}(B) \) tanım gereği \( B \) içindeki en büyük açık kümeyi temsil eder. Böylece \( \text{Int}(A) \), büyüklük bakımından \( \text{Int}(B) \) tarafından kapsanmak zorundadır.
Bu nedenle, $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$ bağıntısı her topolojik uzayda geçerlidir.
Sonuç
Bu özellik, toplojide iç operatörünün kapsama ilişkisini koruyan güvenilir bir yapı olduğunu gösterir. Kümeler arasındaki ilişkileri anlamayı kolaylaştırır ve daha karmaşık topolojik kavramlar için sağlam bir temel oluşturur.
