Монотонность операции замыкания

Монотонность операции замыкания означает следующее: для любых множеств \( A \) и \( B \) (не обязательно замкнутых) из включения \( A \subseteq B \) автоматически следует включение их замыканий: \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

Это одно из базовых свойств замыкания, которое выглядит настолько естественным, что нередко используется без отдельного пояснения.

На интуитивном уровне идея проста: если сначала «замкнуть» меньшее множество, а затем рассмотреть его как часть большего множества, то при замыкании большего множества результат для меньшего никуда не исчезнет.

Наглядный пример

Рассмотрим стандартное топологическое пространство: вещественную прямую \(\mathbb{R}\) со стандартной топологией.

В этой топологии открытыми множествами являются открытые интервалы.

Возьмем два множества в \(\mathbb{R}\):

\[ A = (0, 1) \]

\[ B = [0, 2] \]

Очевидно, что каждое число из интервала \( (0, 1) \) принадлежит также интервалу \( [0, 2] \), то есть

\[ A \subseteq B \]

Замыкание множества \(A\)

Множество \( A \) является открытым интервалом.

Его замыкание получается добавлением всех предельных точек.

В данном случае это точки \( 0 \) и \( 1 \), поскольку любая их окрестность содержит точки из интервала \( (0, 1) \).

Следовательно,

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]

Замыкание множества \(B\)

Множество \( B \) уже является замкнутым интервалом.

Оно содержит все свои предельные точки, поэтому его замыкание совпадает с ним самим:

\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]

Итог

Сравнивая результаты, получаем

\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \subseteq [0, 2] = \text{Cl}(B) \]

Таким образом, на конкретном и наглядном примере подтверждается монотонность операции замыкания.

Доказательство

Пусть задано включение

\[ A \subseteq B \]

Покажем, что из этого следует

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

По определению, точка \( x \) принадлежит \( \text{Cl}(A) \) тогда и только тогда, когда любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку множества \( A \).

Так как \( A \subseteq B \), любая окрестность, содержащая точку из \( A \), тем самым содержит и точку из \( B \).

Следовательно, каждая точка замыкания множества \( A \) является также точкой замыкания множества \( B \).

Эквивалентно, можно рассуждать через замкнутые множества: замыкание множества есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его. Поскольку каждое замкнутое множество, содержащее \( B \), содержит и \( A \), пересечение для \( B \) не может быть меньше, чем для \( A \).

Тем самым получаем включение

\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]

Это и есть формальное выражение монотонности операции замыкания.

И так далее.