Соотношение между внутренностью и замыканием множества
В топологии между операциями внутренности и замыкания множества существует важное и часто используемое соотношение. Оно заключается в том, что внутренняя часть дополнения множества \( A \) совпадает с дополнением замыкания этого множества. В компактной форме это выражается равенством: $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Практический пример
Чтобы увидеть, как это соотношение работает на практике, рассмотрим хорошо знакомое топологическое пространство. Пусть \( X = \mathbb{R} \) - вещественная прямая со стандартной топологией, где открытыми множествами являются открытые интервалы.
Рассмотрим множество \( A = [0, 1] \), которое является замкнутым интервалом.
$$ A = [0, 1] $$
Дополнение множества \( A \) на вещественной прямой состоит из всех точек, не принадлежащих этому интервалу:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
По определению внутренняя часть множества \( \mathbb{R} - A \), обозначаемая Int(\(\mathbb{R} - A\)), включает все точки, для которых существует окрестность, целиком лежащая в этом множестве.
Так как интервалы \((-\infty, 0)\) и \( (1, \infty) \) являются открытыми, их объединение также открыто. Поэтому внутренняя часть дополнения совпадает с самим дополнением:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Теперь рассмотрим замыкание множества \( A \). Замыкание, обозначаемое Cl(\(A\)), определяется как наименьшее замкнутое множество, содержащее \( A \), или, что эквивалентно, как множество \( A \) вместе со всеми его предельными точками.
Поскольку интервал \( [0, 1] \) уже является замкнутым, его замыкание совпадает с ним:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Дополнение замыкания множества \( A \) в \( \mathbb{R} \) имеет вид:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Сравнивая результаты, получаем:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
Оба выражения описывают одно и то же множество. Это наглядно подтверждает справедливость рассматриваемого соотношения.
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Таким образом, даже на простом примере видно, как внутренняя часть и замыкание множества связаны между собой через операцию дополнения.
Доказательство
Перейдём к общему доказательству. Пусть \( A \) - произвольное множество в топологическом пространстве \( X \).
Наша цель - доказать равенство:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Доказательство основано на стандартных определениях внутренности и замыкания, принятых в общей топологии.
Напомним их:
- \(\text{Int}(B)\) - множество всех внутренних точек множества \( B \).
- \(\text{Cl}(A)\) - наименьшее замкнутое множество, содержащее \( A \), или, эквивалентно, объединение множества \( A \) со всеми его предельными точками.
1] Включение \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Пусть точка \( x \) принадлежит внутренности множества \( X - A \).
$$ x \in \text{Int}(X - A) $$
По определению существует окрестность \( U \) точки \( x \), полностью содержащаяся в \( X - A \). Это означает, что \( U \cap A = \emptyset \).
Следовательно, у точки \( x \) имеется окрестность, не пересекающаяся с множеством \( A \), а значит \( x \) не может быть предельной точкой множества \( A \).
Отсюда следует, что \( x \notin \text{Cl}(A) \), то есть \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
2] Включение \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Теперь возьмём точку \( x \) из множества \( X - \text{Cl}(A) \).
$$ x \in X - \text{Cl}(A) $$
Это означает, что точка \( x \) не принадлежит замыканию множества \( A \). Следовательно, существует окрестность \( U \) точки \( x \), не имеющая общих точек с \( A \), то есть \( U \cap A = \emptyset \).
Из этого сразу следует, что \( U \subseteq X - A \), а значит \( x \) является внутренней точкой множества \( X - A \).
Таким образом, \( x \in \text{Int}(X - A) \), и второе включение доказано.
Заключение
Так как доказаны оба включения:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
мы приходим к равенству:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Тем самым соотношение между внутренностью и замыканием множества строго установлено и может использоваться как в теоретических рассуждениях, так и при решении практических задач по топологии.
