Замыкание подмножества замкнутого множества

Пусть $ C $ является замкнутым множеством в топологическом пространстве $ X $, а множество $ A $ содержится в $ C $. Тогда замыкание множества $ A $, обозначаемое $ \text{Cl}(A) $, также является подмножеством множества $ C $. $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ замкнуто } \implies \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Интуитивно это свойство понятно. Замыкание множества $ A $ определяется как наименьшее замкнутое множество, которое содержит $ A $. Если же существует замкнутое множество $ C $, уже содержащее $ A $, то замыкание $ A $ не может выйти за его пределы.

Иными словами, все точки замыкания $ A $ неизбежно остаются внутри множества $ C $.

Практический пример
Доказательство

Практический пример

Рассмотрим топологическое пространство $X = \mathbb{R}$ вещественных чисел со стандартной топологией.

В стандартной топологии открытыми множествами являются открытые интервалы.

Пусть $C = [0, 2]$. Это замкнутое множество в пространстве $\mathbb{R}$.

$$ C = [0,2] $$

Выберем подмножество $A$, например открытый интервал $A = (0, 1)$, который целиком содержится в $C$.

$$ A = (0,1) $$

Найдем замыкание множества $A$.

Замыкание множества $A$, обозначаемое $\operatorname{Cl}(A)$, является наименьшим замкнутым множеством в $\mathbb{R}$, содержащим $A$.

В данном случае замыканием интервала $(0, 1)$ является отрезок $[0, 1]$. Он включает все точки интервала $(0, 1)$, а также его предельные точки 0 и 1.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Так как $ A \subseteq C $,

$$ A = (0, 1) \subseteq C = [0, 2] $$

то, согласно рассматриваемому свойству, замыкание $\operatorname{Cl}(A)$ также должно содержаться в $C$.

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

Действительно, $\operatorname{Cl}(A) = [0, 1]$, и очевидно, что $[0, 1] \subseteq [0, 2]$.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Таким образом, открытый интервал $(0, 1)$ содержится в $[0, 2]$, а его замыкание $[0, 1]$ также является подмножеством этого замкнутого множества.

Этот пример наглядно демонстрирует общее свойство: если множество $A$ содержится в замкнутом множестве $C$ топологического пространства $X$, то замыкание множества $A$ также содержится в $C$.

Доказательство

По определению, если множество $C$ замкнуто в пространстве $X$, то его дополнение $X \setminus C$ является открытым множеством в $X$.

Из условия известно, что $A \subseteq C$.

Замыкание множества $A$, обозначаемое $\operatorname{Cl}(A)$, есть наименьшее замкнутое множество в $X$, содержащее $A$.

Эквивалентно, $\operatorname{Cl}(A)$ можно определить как пересечение всех замкнутых множеств в $X$, которые содержат $A$.

Поскольку множество $C$ замкнуто и содержит $A$, оно входит в число всех замкнутых множеств, содержащих $A$.

Следовательно, замыкание $\operatorname{Cl}(A)$, как пересечение всех таких множеств, также содержится в $C$, так как $C$ является одним из них.

Тем самым получаем утверждение

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Итак, если множество $C$ замкнуто и содержит $A$, а замыкание $A$ является наименьшим замкнутым множеством, содержащим $A$, то замыкание $A$ обязательно содержится в $C$.