Включение внутренностей множеств в топологии

Если множество $ A $ содержится в множестве $ B $, то внутренняя часть множества $ A $ обязательно содержится во внутренней части множества $ B $. $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Это свойство интуитивно понятно и играет важную роль в топологии. Оно отражает тот факт, что операция взятия внутренности согласуется с отношением включения между множествами.

Действительно, если одно множество целиком лежит внутри другого, то и его «внутренняя часть» не может выходить за пределы внутренности большего множества.

Практический пример
Доказательство

Практический пример

Рассмотрим конкретный пример на вещественной прямой $ \mathbb{R} $, снабженной стандартной топологией.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Очевидно, что отрезок $ A $ содержится в отрезке $ B $, то есть

$$ A \subseteq B $$

Напомним, что во стандартной топологии на $ \mathbb{R} $ внутренняя часть множества определяется как объединение всех открытых подмножеств, содержащихся в нем.

Внутренность множества A
Отрезок $ A = [1, 3] $ содержит открытый интервал $ (1, 3) $. Следовательно, \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Внутренность множества B
Аналогично, отрезок $ B = [0, 4] $ содержит открытый интервал $ (0, 4) $, поэтому \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

Из этих вычислений сразу видно, что внутренняя часть множества $ A $ полностью содержится во внутренней части множества $ B $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Таким образом, пример на числовой прямой наглядно подтверждает общее утверждение.

Доказательство

Пусть $ A $ и $ B $ являются подмножествами топологического пространства $ X $, причем выполнено включение $ A \subseteq B $.

Наша цель состоит в том, чтобы показать, что из этого автоматически следует включение $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

По определению, внутренняя часть множества $ A $, обозначаемая $ \text{Int}(A) $, есть объединение всех открытых множеств, целиком содержащихся в $ A $.

Иначе говоря, $ \text{Int}(A) $ представляет собой наибольшее открытое множество, лежащее внутри $ A $.

Так как $ A \subseteq B $, любое открытое множество, содержащееся в $ A $, автоматически содержится и в $ B $.

Следовательно, все открытые множества, участвующие в построении $ \text{Int}(A) $, являются подмножествами $ B $.

Отсюда следует, что их объединение, то есть $ \text{Int}(A) $, является открытым множеством, содержащимся в $ B $.

С другой стороны, внутренняя часть множества $ B $, обозначаемая $ \text{Int}(B) $, по определению является наибольшим открытым множеством, содержащимся в $ B $.

Поскольку $ \text{Int}(A) $ является открытым множеством и лежит в $ B $, оно не может выходить за пределы $ \text{Int}(B) $.

Тем самым получаем включение

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Итак, операция перехода к внутренности множества сохраняет отношение включения между множествами, что и требовалось показать.