О включении открытых множеств во внутренность множества
Пусть \( U \) является открытым множеством в топологическом пространстве \( X \) и выполняется включение \( U \subseteq A \). Тогда множество \( U \) содержится во внутренности множества \( A \). $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
Внутренность множества \( A \), обозначаемая через \(\text{Int}(A)\), это наибольшее открытое множество, полностью лежащее внутри \( A \).
Иными словами, если некоторое открытое множество целиком содержится в \( A \), то оно автоматически является частью внутренности этого множества.
Формально внутренность определяется следующим образом:
$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ открыто в } X \} $$
В это объединение входят все открытые множества, содержащиеся в \( A \), и, в частности, множество \( U \), так как оно открыто и по условию включено в \( A \).
Практический пример
Рассмотрим наглядный пример в пространстве вещественных чисел \( \mathbb{R} \), оснащённом стандартной топологией. В этой топологии открытыми считаются открытые интервалы и их произвольные объединения.
Пусть
$$ U = (1, 2) $$
$$ A = [0, 3] $$
Множество \( U = (1, 2) \) является открытым, поскольку это открытый интервал на вещественной прямой.
Кроме того, каждое число из интервала \( (1, 2) \) принадлежит отрезку \( [0, 3] \), следовательно, выполняется включение \( U \subseteq A \).
Внутренность множества \( A = [0, 3] \) представляет собой наибольшее открытое подмножество, содержащееся в \( A \).
В данном случае внутренность равна интервалу \((0, 3)\), так как это максимальный открытый интервал, целиком лежащий внутри \([0, 3]\).
$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$
Поскольку \( U = (1, 2) \), а \(\text{Int}(A) = (0, 3)\), сразу видно, что множество \( U \) содержится во внутренности множества \( A \).
$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$
Этот простой пример наглядно показывает общее свойство: любое открытое множество, содержащееся в \( A \), обязательно входит во внутренность \( A \).
Доказательство
Пусть \( X \) является топологическим пространством, \( U \) открытым множеством в \( X \), а \( A \subseteq X \) таким, что \( U \subseteq A \).
По условию выполнены два факта:
- \( U \) открыто в пространстве \( X \).
- \( U \subseteq A \).
По определению, внутренность множества \( A \), обозначаемая \(\text{Int}(A)\), это наибольшее по включению открытое множество, содержащееся в \( A \).
Так как \( U \) является открытым множеством и при этом содержится в \( A \), оно входит в семейство всех открытых подмножеств множества \( A \).
Внутренность \(\text{Int}(A)\) определяется как объединение всех таких открытых множеств. Поскольку \( U \) является одним из них, отсюда непосредственно следует включение \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
Таким образом, если \( U \) является открытым множеством в топологическом пространстве \( X \) и \( U \subseteq A \), то всегда выполняется включение \( U \subseteq \text{Int}(A) \).
И так далее.
