Как определить внутреннюю часть множества в ℝ

Рассмотрим, как определить внутреннюю часть множества в топологическом пространстве со стандартной топологией, используя простой и наглядный пример на языке R.

Для начала зададим два открытых множества A и B.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Оба множества являются открытыми интервалами на множестве действительных чисел.

Множество A соответствует открытому интервалу (1,3) в ℝ.

> cat("Interval A:", A, "\n")

Interval A: 1 3

Аналогично, множество B задает открытый интервал (0,4) в ℝ.

> cat("Interval B:", B, "\n")

Interval B: 0 4 

Теперь определим функцию, которая будет использоваться для вычисления внутренней части множества.

В топологии внутренняя часть множества определяется как объединение всех открытых подмножеств, полностью содержащихся в данном множестве.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

С помощью этой функции вычислим внутреннюю часть множества A и множества B.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Выведем результаты вычислений.

Внутренняя часть множества A (1,3) представляет собой объединение всех открытых подмножеств, содержащихся в A. В данном случае это снова интервал int(A) = (1,3).

> cat("Interior of A:", Int_A, "\n")

Interior of A: 1.00001 2.99999

Внутренняя часть множества B (0,4) определяется аналогичным образом и равна int(B) = (0,4).

> cat("Interior of B:", Int_B, "\n")

Interior of B: 1e-05 3.99999

Одно из базовых свойств внутренней части множеств состоит в следующем: если множество A является подмножеством множества B, то внутренняя часть A обязательно содержится во внутренней части B.

$$ A \subseteq B \Longrightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Это утверждение легко проверить на практике с помощью R.

cat("Int(A) is contained in Int(B):", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is contained in Int(B): TRUE

Полученный результат подтверждает, что внутренняя часть множества \( A \) действительно содержится во внутренней части множества \( B \).